Главная > Курс высшей математики, Т.5.
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

101. Слабая сходимость элементов.

Введем теперь понятие слабой сходимости элементов пространства X типа В. Говорят, что последовательность элементов X слабо сходится к элементу и пишут если для линейного

функционала . Элемент называется слабым пределом Покажем, что последовательность не может слабо сходиться к разным пределам. Действительно, если то, по определению, для любого откуда или для любого А. Но если не есть нулевой элемент, то существует такой элемент Р, что что противоречит сказанному выше, и тем самым сформулированное выше утверждение доказано. Если то, очевидно, что и всякая подпоследовательность Если то . Это непосредственно следует из дистрибутивности функционалов.

Сходимость по норме которую мы записывали выше в виде называют иногда сильной сходимостью. Мы ее называли просто сходимостью. В силу непрерывности линейного функционала из следует, что для любого т. е. из сильной сходимости следует слабая сходимость.

Из слабой сходимости, вообще говоря, не следует сильной. Приведем пример. Рассмотрим пространство на отрезке [0, 1]. В качестве последовательности возьмем функции

Как будет показано ниже [102], общий вид функционалов в [0, 1] дается формулой

где фиксированная функция из [0, 1] и любой элемент этого пространства. В частности, для элементов имеем:

откуда видно, что, с точностью до множителя суть коэффициенты Фурье относительно системы на промежутке [0,1]. Мы знаем, что при любом выборе из , где — нулевой элемент (функция, эквивалентная нулю). Таким образом, при . В то же время сильной сходимости нет, так как

Теорема 1. Если то последовательность ограничена.

Мы можем рассматривать элементы . При этом из следует, что соответствующие функционалы в А сходятся слабо к функционалу, соответствующему Но при этом, по теореме 1 из [100], нормы упомянутых функционалов, равные образуют ограниченное множество, и теорема доказана.

Слабая компактность множества элементов X определяется так же, как и слабая компактность множества функционалов. Всякое ограниченное множество элементов является ограниченным множеством в X, но это последнее множество, при сепарабельности слабо компактно, как множество функционалов в А. Если X — регулярное пространство, т. е. то из сказанного следует:

Теорема 2. Если X — регулярно, а X и сепарабельны, то всякое ограниченное мнооюество элементов X слабо компактно.

Отметим, что если X не регулярное пространство, т. е. X шире то предел последовательности элементов X может быть таким элементом которому не соответствует элемент X. Можно доказать, что если X сепарабельно и регулярно, то и X сепарабельно.

Из указанного выше соответствия элементам элементов X и теоремы 2 из [100] непосредственно следует:

Теорема 3. Для того чтобы последовательность элементов регулярного пространства X слабо сходилась, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была ограниченной и чтобы существовал предел на некотором линеале U элементов , плотном в X.

Как и в [1001, линеал U можно заменить таким множеством V элементов А, линейная оболочка которого плотна в X.

Теорема 4. Пусть А — линейный оператор в пространстве X типа В и принадлежит пространству X также типа В. Если в X, то

Пусть любой линейный функционал в . Нетрудно видеть, что есть линейный функционал в X, и из в X следует, что . Это имеет место для любого функционала в , и, следовательно, и теорема доказана. Мы знаем? что линейный оператор непрерывен в смысле сильной сходимости. Теорема 4 утверждает, что он непрерывен и в смысле слабой сходимости.

Мы видели, что если то . Для слабой сходимости этого свойства может и не быть. Обратимся к указанному выше примеру последовательности функций из на Мы видели, что .

Теорема 5. Если Отметим прежде всего, что конечен в силу теоремы 1. Доказываем теорему

от обратного. Пусть . Возьмем какое-нибудь число , удовлетворяющее неравенству

Отсюда следует, что существует такое что при . Далее имеется такой линейный функционал что и мы имеем при а, в силу .

Таким образом, не стремится к что противоречит условию теоремы, и теорема доказана.

Положим, что пространство X удовлетворяет следующему условию: при любом заданном существует число такое, что если . При этом говорят что X — равномерно выпуклое пространство. Для таких пространств справедливо следующее утверждение: если . В дальнейшем мы докажем это для частного случая пространства — гильбертова пространства. Свойство равномерной выпуклости имеет место для пространства при например, С. Л. Соболев „Некоторые применения функционального анализа в математической физике").

Теорема 6. Если , то принадлежит замыканию (по норме) линейной оболочки множества элементов Доказываем это от обратного. Пусть - линейная оболочка элементов предположим, что не принадлежит U, т. е.

Для всякого числа отличного от нуля, имеем

Действительно,

Но если то и и (69) непосредственно следует из (68). Рассмотрим теперь множество элементов вида

где и t — любое число. Как и в [98], легко видеть, что представление в виде (70) единственно, и что указанное множество элементов линеал. Обозначим его буквой V и определим на нем дистрибутивный функционал формулой так что если Докажем, что этот функционал ограничен на V. Пусть . В силу (69) можем написать . При это неравенство очевидно.

Таким образом, Мы можем продолжить на все с той же оценкой нормы и получим некоторый линейный функционал . По определению ибо все Мы видим, что не стремится к что противоречит условию теоремы: . Теорема доказана.

Доказанную теорему можно сформулировать еще следующим образом: если , то существует последовательность линейных комбинаций элементов которая сильно стремится к при

Можно доказать более сильное утверждение: если то существует такая подпоследовательность что

Теорема 7. Если пространство X регулярно и последовательность слабо сходится в себе, т. е. при для всякого элемента то эта последовательность слабо сходящаяся.

Из условия теоремы и признака Коши для числовых последовательностей следует, что имеет предел для любого X, т. е. линейные функционалы в X имеют предел для любого . Этот предел есть также некоторый линейный функционал в X. Но из регулярности X следует, что этот предельный функционал имеет вид т. е. для любого имеем что и требовалось доказать.

Иначе теорему 7 можно формулировать так: регулярное пространство X обладает слабой полнотой.

1
Оглавление
email@scask.ru