101. Слабая сходимость элементов.

Введем теперь понятие слабой сходимости элементов пространства X типа В. Говорят, что последовательность элементов X слабо сходится к элементу и пишут если для линейного

функционала . Элемент называется слабым пределом Покажем, что последовательность не может слабо сходиться к разным пределам. Действительно, если то, по определению, для любого откуда или для любого А. Но если не есть нулевой элемент, то существует такой элемент Р, что что противоречит сказанному выше, и тем самым сформулированное выше утверждение доказано. Если то, очевидно, что и всякая подпоследовательность Если то . Это непосредственно следует из дистрибутивности функционалов.

Сходимость по норме которую мы записывали выше в виде называют иногда сильной сходимостью. Мы ее называли просто сходимостью. В силу непрерывности линейного функционала из следует, что для любого т. е. из сильной сходимости следует слабая сходимость.

Из слабой сходимости, вообще говоря, не следует сильной. Приведем пример. Рассмотрим пространство на отрезке [0, 1]. В качестве последовательности возьмем функции

Как будет показано ниже [102], общий вид функционалов в [0, 1] дается формулой

где фиксированная функция из [0, 1] и любой элемент этого пространства. В частности, для элементов имеем:

откуда видно, что, с точностью до множителя суть коэффициенты Фурье относительно системы на промежутке [0,1]. Мы знаем, что при любом выборе из , где — нулевой элемент (функция, эквивалентная нулю). Таким образом, при . В то же время сильной сходимости нет, так как

Теорема 1. Если то последовательность ограничена.

Мы можем рассматривать элементы . При этом из следует, что соответствующие функционалы в А сходятся слабо к функционалу, соответствующему Но при этом, по теореме 1 из [100], нормы упомянутых функционалов, равные образуют ограниченное множество, и теорема доказана.

Слабая компактность множества элементов X определяется так же, как и слабая компактность множества функционалов. Всякое ограниченное множество элементов является ограниченным множеством в X, но это последнее множество, при сепарабельности слабо компактно, как множество функционалов в А. Если X — регулярное пространство, т. е. то из сказанного следует:

Теорема 2. Если X — регулярно, а X и сепарабельны, то всякое ограниченное мнооюество элементов X слабо компактно.

Отметим, что если X не регулярное пространство, т. е. X шире то предел последовательности элементов X может быть таким элементом которому не соответствует элемент X. Можно доказать, что если X сепарабельно и регулярно, то и X сепарабельно.

Из указанного выше соответствия элементам элементов X и теоремы 2 из [100] непосредственно следует:

Теорема 3. Для того чтобы последовательность элементов регулярного пространства X слабо сходилась, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была ограниченной и чтобы существовал предел на некотором линеале U элементов , плотном в X.

Как и в [1001, линеал U можно заменить таким множеством V элементов А, линейная оболочка которого плотна в X.

Теорема 4. Пусть А — линейный оператор в пространстве X типа В и принадлежит пространству X также типа В. Если в X, то

Пусть любой линейный функционал в . Нетрудно видеть, что есть линейный функционал в X, и из в X следует, что . Это имеет место для любого функционала в , и, следовательно, и теорема доказана. Мы знаем? что линейный оператор непрерывен в смысле сильной сходимости. Теорема 4 утверждает, что он непрерывен и в смысле слабой сходимости.

Мы видели, что если то . Для слабой сходимости этого свойства может и не быть. Обратимся к указанному выше примеру последовательности функций из на Мы видели, что .

Теорема 5. Если Отметим прежде всего, что конечен в силу теоремы 1. Доказываем теорему

от обратного. Пусть . Возьмем какое-нибудь число , удовлетворяющее неравенству

Отсюда следует, что существует такое что при . Далее имеется такой линейный функционал что и мы имеем при а, в силу .

Таким образом, не стремится к что противоречит условию теоремы, и теорема доказана.

Положим, что пространство X удовлетворяет следующему условию: при любом заданном существует число такое, что если . При этом говорят что X — равномерно выпуклое пространство. Для таких пространств справедливо следующее утверждение: если . В дальнейшем мы докажем это для частного случая пространства — гильбертова пространства. Свойство равномерной выпуклости имеет место для пространства при например, С. Л. Соболев „Некоторые применения функционального анализа в математической физике").

Теорема 6. Если , то принадлежит замыканию (по норме) линейной оболочки множества элементов Доказываем это от обратного. Пусть - линейная оболочка элементов предположим, что не принадлежит U, т. е.

Для всякого числа отличного от нуля, имеем

Действительно,

Но если то и и (69) непосредственно следует из (68). Рассмотрим теперь множество элементов вида

где и t — любое число. Как и в [98], легко видеть, что представление в виде (70) единственно, и что указанное множество элементов линеал. Обозначим его буквой V и определим на нем дистрибутивный функционал формулой так что если Докажем, что этот функционал ограничен на V. Пусть . В силу (69) можем написать . При это неравенство очевидно.

Таким образом, Мы можем продолжить на все с той же оценкой нормы и получим некоторый линейный функционал . По определению ибо все Мы видим, что не стремится к что противоречит условию теоремы: . Теорема доказана.

Доказанную теорему можно сформулировать еще следующим образом: если , то существует последовательность линейных комбинаций элементов которая сильно стремится к при

Можно доказать более сильное утверждение: если то существует такая подпоследовательность что

Теорема 7. Если пространство X регулярно и последовательность слабо сходится в себе, т. е. при для всякого элемента то эта последовательность слабо сходящаяся.

Из условия теоремы и признака Коши для числовых последовательностей следует, что имеет предел для любого X, т. е. линейные функционалы в X имеют предел для любого . Этот предел есть также некоторый линейный функционал в X. Но из регулярности X следует, что этот предельный функционал имеет вид т. е. для любого имеем что и требовалось доказать.

Иначе теорему 7 можно формулировать так: регулярное пространство X обладает слабой полнотой.