100. Слабая сходимость функционалов.

Мы рассматривали в [99] следующую сходимость последовательности линейных функционалов к функционалу и тем более при любом Такую сходимость называют обычно сходимостью по норме. При этом из [99] следует, что нормы ограничены, т. е. не превышают при любом некоторого положительного числа. Введем теперь новое понятие сходимости. Говорят, что последовательность линейных функционалов слабо сходится, если для любого числовая последовательность имеет предел (конечный). Обозначим этот предел через Это есть функционал, определенный во всем X. Его дистрибутивность вытекает из дистрибутивности и мы смогли бы утверждать и его ограниченности (и тем самым линейность), если бы знали, что последовательность ограничена. Оказывается, что это действительно имеет место.

Теорема 1. Пусть L есть некоторое множество линейных функционалов причем для любого элемента существует такое положительное число что если т. е. при фиксированном множество чисел ограничено. При этом нормы функционалов ограничены.

Покажем сначала, что для доказательства теоремы достаточно установить ограниченность в какой-либо сфере. Действительно, пусть существует такое положительное число b, что

если принадлежит некоторой замкнутой сфере лег и пусть у — любой элемент отличный от нулевого. Элемент принадлежит и, в силу (65), имеем

и тем более

откуда

для любого и составляет утверждение теоремы. Тем самым, если множество чисел ограничено в какой-либо сфере, то теорема доказана. Теперь доказываем теорему от обратного. Предполагаем, что указанное множество неограничено в любой замкнутой сфере и приводим это к противоречию.

Фиксируем какую-нибудь замкнутую сферу . По доказанному имеется такой элемент и такой функционал что . В силу непрерывности можно считать, что лежит внутри и что неравенство выполняется во всей сфере где достаточно мало положительное число. Как и выше, найдется такой элемент лежащий внутри такой функционал S и такое малое положительное что сфера принадлежит и во всей этой сфере выполняется неравенство . Продолжая так и дальше, получим последовательность вложенных сфер

и функционалов таких, что во всей сфере выполняется неравенство При этом можно считать, конечно, что при . В точке принадлежащей всем этим сферам выполняется тем самым неравенство что противоречит тому, что множество чисел должно быть ограничено. Теорема доказана.

Если некоторая последовательность функционалов при любом имеет конечный предел, то тем самым последовательность чисел при любом ограничена, и, в силу теоремы, последовательность ограничена. Как мы выше отметили, отсюда следует, что предел слабо сходящейся последовательности линейных функционалов есть также линейный функционал.

Если последовательность ограничена, то оказывается, что для слабой сходимости функционалов достаточно потребовать существование предела не на всем X, а лишь на плотном в X линеале.

Теорема 2. Для того чтобы последовательность функционалов слабо сходилась, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была ограниченной и чтобы существовал предел на линеале, плотном в X. Необходимость первого условия вытекает из теоремы 1, а второго — очевидна. Переходим к доказательству достаточности. Обозначим через U линеал, о котором говорится во втором условии теоремы. В силу первого условия где С—положительное число. Обозначая через предел при мы можем утверждать, что дистрибутивный ограниченный на U функционал (его норма не превышает С)

Мы можем распространить его по непрерывности на все X. Будем по-прежнему через обозначать полученный таким образом линейный функционал и докажем, что при любом . Если , то это имеет место. Пусть . При любом заданном существует такой элемент , что . Принимая во внимание, что нормы не превышают С, можем написать

Но и, следовательно, существует такой значок N, что при и из предыдущего неравенства: в при откуда и следует, что

Замечание. Второе условие теоремы можно заменить следующим: существует предел на множестве элементов линейная оболочка которого плотна в X. Действительно, из сходимости на в силу дистрибутивности следует сходимость на U.

Понятие слабой сходимости функционалов приводит естественно к понятию слабой компактности. Множество W элементов А называется слабо компактным, если из любой последовательности функционалов можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.

Теорема 3. Если X сепарабельно, то, любое ограниченное множество функционалов слабо компактно.

Нам надо показать, что если у последовательности линейных функционалов нормы ограничены , то можно выбрать подпоследовательность сходящуюся для всякого . Пусть счетное множество V элементов плотное в X. При любом имеем т. е. последовательность чисел ограничена. Применяя обычный диагональный процесс [IV; 15], мы образуем подпоследовательность сходящуюся на всех элементах V. Из замечания к предыдущей теореме следует, что последовательность сходится на всем и теорема доказана.

Замечание. Слабо компактным является, очевидно, и всякое ограниченное множество элементов X, поскольку его можно заключить в некоторую сферу