140. Операторы проектирования.
Мы видели, что оператор проектирования
в подпространство L есть самосопряженный оператор с нормой единица (исключая случай, когда
— оператор аннулирования [124]). Из его определения непосредственно следует
и потому
т. е.
- положительный оператор. Докажем некоторые теоремы о проекторах.
Теорема 1. Если А есть самосопряженный оператор, удовлетворяющий соотношению
то А есть проектор
в подпространство L, образованное элементами
когда
пробегает все
.
Множество L элементов
когда
; пробегает Н, в силу дистрибутивности оператора А, есть линеал. Докажем, что L есть подпространство. Пусть
— последовательность элементов из L и
Надо доказать, что
Принимая во внимание, что
можем утверждать, что существуют такие элементы
что
или, в силу
откуда, переходя к пределу и пользуясь непрерывностью оператора А, получим
и, следовательно,
Для доказательства теоремы нам остается показать, что элемент
ортогонален любому элементу из L, т. е. ортогонален элементу
где
— любой
мент из Н. Мы имеем
В силу самосопряженности А мы можем перекинуть А с первого элемента
на второй элемент
. Таким образом, получим
и из (157) следует, что правая часть равна нулю, т. е.
и теорема доказана.
Назовем два проектора
взаимно ортогональными, если выполнено условие
причем символ 0, стоящий справа, обозначает оператор аннулирования. Переходя в формуле (158) к сопряженным операторам и принимая во внимание самосопряженность проектора, получим, наряду с (158), формулу
Теорема 2. Для того чтобы проекторы
и
были взаимно ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы подпространства L и М были взаимно ортогональны.
Доказываем необходимость. Если бы L и М не были взаимно оргогональными, то существовал бы элемент
принадлежащий М и неортогональный L. Для такого элемента мы получили бы
и,
следовательно,
, что противоречит (158). Доказываем достаточность. Если
, то
ортогонально к L для любого элемента
и, следовательно,
, т. е. формула (158) справедлива.
Теорема 3. Для того чтобы сумма
была проекторому необходимо и достаточно, чтобы подпространства L и М были взаимно ортогональны. Если это условие выполнено, то
есть проектор в
.
Доказываем необходимость. Пусть
есть проектор. При этом мы должны иметь, в силу (156),
и, раскрывая скобки и принимая во внимание, что
получим
Умножаем слева на
Умножая это равенство справа на
получаем формулу
, которая, в силу (162), приводит нас к формуле
из которой, в силу теоремы 1, и следует, что L и М взаимно ортогональны. Доказываем достаточность. Если L и М взаимно ортогональны, то, в силу (158) и (159), выполняется равенство (161), а тем самым и равенство
в силу теоремы
есть проектор. Подпространство, соответствующее этому проектору, определяется формулой
где
пробегает Н. Слагаемое
и слагаемое
образом, любой элемент у, определяемый формулой (163), принадлежит
. Наоборот, если мы возьмем любой элемент
принадлежащий
причем
, то, подставляя в формулу
получим
. Таким образом, формула (163) определяет действительно подпространство
и теорема таким образом доказана.
Говорят, что оператор
есть часть оператора
если выполнено условие
Переходя в этой формуле к сопряженным операторам, получим следующую формулу:
Теорема 4. Для того чтобы
было частью
, необходимо и достаточно, чтобы подпространство М было частью
подпространства L. Это условие равносильно тому, что при всяком
или тому, что
Если выполнено условие (164) и мы возьмем элемент
принадлежащий
то
и из (164) следует, что
есть часть L. Наоборот, если М есть часть L, то при любом выборе
элемент
принадлежит М, а следовательно, и I, а потому
, т. е. условие (164) выполнено. При этом, согласно формуле (165), мы можем написать для любого элемента
откуда вытекает неравенство (93). Покажем теперь, наоборот, что из неравенства (93) следует, что М есть часть L. Если бы это было не так, то существовал бы элемент
принадлежащий М и не принадлежащий L. Для этого элемента мы имели бы
что противоречит (166). Наконец, неравенство (166), в силу (157), мы можем записать в виде
или
, откуда и следует, что (167) равносильно (166); теорема полностью доказана.
Теорема 5. Для того чтобы разность
была проектором, необходимо и достаточно, чтобы М было частью L. Если это условие выполнено, то
есть проектор в
.
Если
есть проектор, то мы должны иметь
или, раскрывая скобки, получим
Умножая сначала слева, а затем справа на
, приходим к двум равенствам
из которых следует, что
и, в силу
имеем
т. е. соблюдено условие (164), и М есть часть L. Наоборот, если М есть часть L, т. е. соблюдены условия (164) и (165), то из них следует формула (169), и тем самым формула (168), а потому, согласно теореме
есть проектор. Соответствующее ему подпространство определяется формулой
причем
пробегает все И. Элементы
принадлежат L, ибо по условию М есть часть L. Таким образом, формула (170) дает элементы, принадлежащие L. Покажем, что элементы у, кроме того, ортогональны М. Пусть
— любой элемент из М. Мы имеем
и можем написать
Переводя
справа налево и пользуясь условием (165), получим
т. е. действительно
. Таким образом, формула (170) дает элементы у, принадлежащие
. Если и есть любой элемент, принадлежащий
то
и, таким образом, окончательно можно утверждать, что формула (170) определяет подпространство
и теорема доказана.
Теорема 6. Для того чтобы произведение
было проектором, необходимо и достаточно, чтобы
коммутировали,
.
Если это условие выполнено, то
есть проектор в подпространство
Необходимость условия (171) вытекает из того, что для самосопряженности
необходимо и достаточно (171). Проверим теперь, что при наличии условия (171) оператор
удовлетворяет условию (157):
Таким образом, первая часть теоремы доказана. Если х - любой элемент из Н, то элемент
очевидно, принадлежит как L, так и
т. е. принадлежит LM. Наоборот, если мы возьмем любой элемент
принадлежащий LM, то формула (172) при
даст нам
Таким образом, формула (172) определяет подпространство LM, и теорема полностью доказана.
Теорема 7. Предел сходящейся последовательности проекторов есть проектор.
Мы имеем
, причем
суть проекторы и Р есть самосопряженный оператор [131]. Переходя в равенстве
к пределу, получаем равенство
из которого, в силу теоремы 1, следует, что Р есть проектор.
Теорема 8. Всякая монотонная последовательность проекторов имеет предел.
Рассмотрим сначала неубывающую последовательность проекторов:
Для доказательства существования предела у последовательности (173) нам надо показать, что
имеет предел при любом выборе х, т. е. для любого заданного положительного s должно существовать такое N, что
В силу (173) и теоремы
причем для любого
мы имеем
. Таким образом, неубывающая последовательность неотрицательных чисел
имеет предел, и для любого заданного положительного
существует такое N, что
Согласно (157) мы можем записать это неравенство в виде
Так как
есть часть
то
есть проектор, и последнее неравенство, в силу (157), приводит к неравенству (174); теорема доказана. Отметим, что, в силу теоремы 7, предельный оператор Р для последовательности (173). есть проектор и, переходя в неравенстве
к пределу при
мы получаем
Совершенно аналогично доказывается, что и убывающая последовательность проекторов имеет предел, и этот предел есть также проектор.
Теорема 9. Если
— счетное число попарно ортогональных подпространств, то сумма
есть проектор в подпространство
Это утверждение непосредственно следует из сказанного в [139].