202. Индексы дефекта.

Обозначим через подпространства, дополнительные для и через и q размерность и . Если, например, есть все Ну то отсутствует, и мы считаем

Если конечномерно, то — число его измерений, и если бесконечномерно, то Пара чисел определяет так называемые индексы дефекта оператора А. Докажем ряд простых теорем, относящихся к индексам дефекта.

Теорема Для самосопряженности симметричного замкнутого оператора А необходимо и достаточно, чтобы оба его индекса дефекта были равны нулю.

Если А — самосопряженный оператор, то, как мы знаем из [201], формулы (119) и (120) преобразуют в Я, и, следовательно, Положим наоборот, что При этом (А) и совпадают с Н, и есть унитарный оператор (определен, как и во всем Н). Пусть для всех из Нам надо доказать, что . В силу (124) и (125), предыдущее равенство переписывается в виде

откуда, в силу унитарности

и, ввиду произвольности у, имеем: Обозначая имеем откуда теорема доказана. Достаточность является также следствием теоремы 2 из [187].

Перед доказательством следующих теорем выясним структуру изометрических операторов. Совершенно так же, как и для унитарных операторов [137], можно показать, что изометрические преобразования U подпространства V в подпространство L сводятся к преобразованию полной ортогональной нормированной системы в V в такую же систему в так что считается сепарабельным) и

При этом, очевидно, или оба подпространства должны быть бесконечной размерности, или оба должны иметь одно и то же конечное число измерений. Если это условие выполнено, то, ввиду произвольности выбора ортов, мы можем построить бесконечное множество изометрических преобразований в Имея изометрический

оператор U, переводящий мы можем его расширить только путем добавления одинакового числа новых ортов из и установления между ними попарного соответствия. Из этих соображений непосредственно вытекает следующая общая теорема:

Теорема 2. Для возможности расширения замкнутого симметричного оператора А с сохранением им симметричности необходимо и достаточно, чтобы оба индекса дефекта оператора А были отличными от нуля. Если это условие выполнено, то имеется бесчисленное множество расширений. Для возможности расширения А до самосопряженного оператора необходимо и достаточно, чтобы индексы дефекта А были одинаковыми (отличными от нуля), и если это так, то указанных расширений существует бесчисленное множество.

Опишем общую схему расширения оператора А. Выделяя из какие либо подпространства и с одним и тем же числом измерений, построим какой-либо изометрический оператор V, переводящий Определяем для расширенного оператора В подпространство как ортогональную сумму так что всякий элемент у из единственным образом представим в виде где Расширенный изометрический оператор V определяется формулой правая часть которой представляет собой разложение принадлежащего в ортогональные подпространства . Согласно (124), линеал определяется формулой где — любой элемент любой элемент А. Запишем этот факт в виде

Совершенно аналогично формула (125) дает т. е.

Если совпадает с , то последние формулы определяют самосопряженное расширение А. Нетрудно показать, что представление суммой (129) единственно. Иначе говоря, нам надо показать, что если сумма (129) равна нулевому элементу, то и все слагаемые равны нулевому элементу. Действительно, если то и и формулы (129) и (130) дают Умножая первое уравнение на i и складывая со вторым, получим в написанной сумме первое слагаемое принадлежит а второе ортогонально , откуда следует, что оба они равны нулю, т. е. а потому что и требовалось доказать.

Если один из индексов дефекта равен нулю, а другой отличен от нуля, то А не имеет замкнутых симметричных расширений, и такой

оператор называется максимальным. В связи с этим термином самосопряженный оператор, т. е. оператор, у которого оба индекса дефекта равны нулю, называется иначе гипермаксимальным. Положим, что А имеет индексы дефекта (1, 1), т. е. что подпространства одномерны, и пусть какие-либо их элементы, при чем так что все их элементы представимы в виде где — любое комплексное число. Формула где — любое заданное вещественное число из промежутка дает изометрическое преобразование (А) в и, добавляя это преобразование к тому преобразованию U, которое переводило получим унитарный оператор V; формула (128) определяет нам самосопряженный оператор В, который зависит от выбора указанного выше числа . Если индексы дефекта А суть (2, 2), то, выбирая какие-либо взаимно ортогональные нормированные элементы из и из мы положим

Фиксируя и выбирая всевозможными способами получим все различные V. Дополняя изометрическое преобразование U до унитарного V, мы получаем опять по формулам (128) самосопряженный оператор А.

Докажем еще теорему, которая дает новую характеристику подпространств

Теорема есть подпространство собственных элементов оператора А, соответствующих собственному значению т. е. подпространство решений уравнения есть подпространство решений уравнения

Отметим, что, поскольку А есть замкнутый оператор, линеал его собственных элементов, соответствующих какому-либо собственному значению, всегда замкнут, т. е. есть подпространство. Элементы v подпространства характеризуются тем, что они ортогональны при любом из т. е. характеризуются равенством которое может быть переписано в виде где любой элемент из Последнее равенство, в силу определения А, равносильно тому, что и утверждение теоремы относительно доказано. Таким же образом доказывается и утверждение относительно Из доказанной теоремы следует, что наличие индексов дефекта отличных от нуля, связано с тем, что оператор А уже не является симметричным на и имеет собственное значение i или , или оба эти числа.

Вместо чисел мы могли бы взять любое невещественное число X из верхней полуплоскости и сопряженное с ним число X. При этом формулы

совершают биоднозначное преобразование D(А) в некоторые подпространства и мы имеем изометрическое преобразование первого из них во второе.

Дополнительные подпространства суть подпространства решений уравнений . Размерности этих подпространств будем обозначать через . Это — индексы дефекта А. В дальнейшем будет доказано, что они не зависят от выбора X из верхней полуплоскости. Формулы (129) и (130) будут иметь вид

Первая из них дает и ее, очевидно, можно записать в следующем виде:

где — некоторое подпространство из и V — изометрический оператор, переводящий в подпространство находящееся в

Пусть — линеалы. Назовем прямой суммой множество L элементов, представимых в виде: где если указанное представление единственно (L — линеал). Формула дает пример прямой суммы. Прямую сумму записывают часто в виде над знаком .