49. Свойства интеграла.

Приведем основные свойства интеграла Лебега — Стилтьеса. Во всех следующих теоремах считается, что g есть измеримое множество конечной меры.

1. Если с — постоянная, то

Для любого подразделения 8 суммы и имеют значение , откуда и следует (11) [3].

2. Если ограничены и измеримы на g, то

Пусть подразделения, при которых для функции для имеют пределом соответствующие интегралы. Для подразделения суммы как для так и для имеют пределом соответствующие интегралы, и (12) получается непосредственно на основании теоремы о пределе суммы. В дальнейшем

мы не будем оговаривать измеримости и ограниченности функций.

Вынесение постоянного множителя за знак интеграла непосредственно следует из возможности вынесения этого множителя за скобку в суммах Кроме того, надо несколько раз применить свойство 2.

4. Если на g, то

Все суммы неотрицательны.

5. Если то

Достаточно применить 4 к разности и воспользоваться 3.

Для доказательства достаточно взять произведение разбиений (8) для и написать аналогичное неравенство для сумм

7. Если на g, то

непосредственно вытекает из и 1.

Из условия следует, что и неравенство (18) является следствием свойства 7.

9. Если где измеримы и без общих точек, то

Для доказательства достаточно взять подразделения (8) множеств g и составить для этих подразделений и взять их

сумму. Эта последняя сумма будет иметь определенный предел, чем и будет доказана формула (19).

10. Если g разбита на конечное или счетное число измеримых множеств g, то

Для конечного числа слагаемых формула непосредственно следует из многократного применения свойства 9. Рассмотрим случаи бесконечного числа множеств . Пусть Мы можем написать где есть очевидно исчезающая последовательность множеств, и, следовательно, Применяя свойство для конечного числа слагаемых, получим

Для последнего интеграла имеем оценку

и формула (21), в силу в пределе даст (20). Доказанное свойство называют обычно полной аддитивностью интеграла.

11. При любом заданном существует такое , что

если

Это свойство непосредственно следует из оценки

Оно называется обычно абсолютной непрерывностью интеграла. 12. Если - множество меры нуль, т. е. , то для любой ограниченной на -функции

Функция измерима на [42], и для любого подразделения суммы и равны нулю.

13. Если эквивалентны на g, то

Пусть А та часть g, где Это множество А, по условию, есть множество меры нуль. На множестве функции совпадают. Таким образом, получаем два равенства:

сложение которых и дает (23).

14. Если на g и

то эквивалентна нулю. Нам надо доказать, что мера множества равна нулю. Это множество можно представить в виде суммы множеств

и если его мера положительна, то положительной будет и мера по крайней мере одного из слагаемых множеств. Пусть, например, мера множества положительна. Разбиваем интеграл на два слагаемых:

В силу второе слагаемое неотрицательно. На множестве В мы имеем и, следовательно, первое слагаемое .

Таким образом, в силу левая часть формулы положительна, что противоречит (24).

15. Если последовательность функций, измеримых на g и равномерно ограниченных, т. е. , где L — определенное положительное число (не

зависящее от и эта последовательность почти везде на g стремится к предельной функции , то

Предельная функция почти везде на g удовлетворяет неравенству Переходя, если надо, к эквивалентной функции, можем считать, что указанное неравенство удовлетворяется везде на g. Интеграл от измеримой и ограниченной функции на g имеет смысл.

Составим интеграл от разности и применим к нему свойство 6:

Пусть — заданное положительное число и - множество тех точек g, в которых . В силу теоремы 6 из . В точках множества выполняется неравенство Кроме того, в любой точке Р из g имеем

Интеграл, стоящий в правой части (27), разобьем на два:

Отсюда в силу сказанного выше, следует

или, тем более,

Из следует далее, что существует такое , что при и таким образом

Сравнивая с (27), получаем

откуда, в силу произвольности в, и следует (26). Отметим, что для доказательства (26) достаточно предположить, что лишь почти везде на g. Переходя к эквивалентным функциям, если это необходимо, можем считать, что указанное неравенство соблюдается везде на g. Доказанное свойство устанавливает возможность предельного перехода под знаком интеграла при единственном предположении ограниченности по абсолютной величине, независимо от значка п. Аналогичное свойство для интеграла Стилтьеса было нами указано в [11]. Оно является непосредственным следствием доказанной теоремы, поскольку при непрерывности интеграл Лебега — Стилтьеса сводится к интегралу Стилтьеса. Отметим, что при формулировке свойства 15 можно заменить сходимость почти везде сходимостью по мере. Доказательство в существенном остается тем же.

16. Если на множестве имеем то функция

есть возрастающая функция у, и интеграл Лебега — Стилтьеса сводится к интегралу Стилтьеса согласно следующей формуле:

Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что суммы Лебега (8) суть обычные суммы и для интеграла Стилтьеса, стоящего в правой части (28).

Для случая интеграла Лебега, т. е. для того случая, когда есть площадь промежутка, интеграл часто обозначают следующим образом:

Для случая прямой линии и трехмерного пространства пользуются аналогичным образом следующими обозначениями для интеграла Лебега: