59. Пространство L2.

Наряду с пространством рассмотрим пространство бесконечных последовательностей тесно связанное с , причем мы сразу будем рассматривать комплексный случай. Элементом назовем бесконечную последовательность комплексных чисел такую, что ряд, составленный из сходится. Непосредственно определяется умножение элемента на комплексное число и сложение элементов. Элемент по определению имеет координаты и сумма элементов х и у с координатами имеет координаты при этом сходимость ряда, составленного из чисел непосредственно следует из сходимости рядов, составленных из чисел в силу очевидного неравенства Норма элемента определяется формулой

и скалярное произведение элементов х и у формулой

причем абсолютная сходимость ряда, стоящего справа, непосредственно вытекает из неравенства

Мы имеем

Расстояние между элементами х и у определяется формулой

Совершенно аналогично неравенствам (67) и (69) имеют место следующие неравенства:

Они доказываются так же, как и неравенства (67) и (69). Отметим, что неравенство (106) может быть записано в виде

Для расстояния, в силу (107), имеет место правило треугольника. Нулевым элементом пространства называется элемент, все координаты которого равны нулю. Мы говорим, что последовательность элементов сходится к элементу если . Пусть координаты координаты Сходимость к равносильна следующему:

Укажем теперь на связь пространств и . Возьмем какую-либо замкнутую ортогональную и нормированную систему (81). Каждой функции из будет соответствовать последовательность комплексных чисел ее коэффициентов Фурье, причем ряд, составленный из сходится. Наоборот, каждой такой последовательности комплексных чисел, в силу теоремы 1 из [59], отвечает определенная функция из Таким образом, взяв какую-либо замкнутую систему (81), мы устанавливаем биоднозначное соответствие между элементами Каждому элементу соответствует один определенный элемент из и наоборот. В силу того, что коэффициенты

Фурье конечной линейной комбинации функций равны соответствующей линейной комбинации коэффициентов Фурье слагаемых функций мы можем утверждать, что указанное выше биоднозначное соответствие дистрибутивно, т. е. если элементам из соответствуют элементы из то элементу соответствует элемент . В силу обобщенного уравнения замкнутости (99) скалярные произведения соответствующих элементов в и при указанном соответствии одинаковы. Нормы элементов, в силу уравнения замкнутости (98), также одинаковы. Пространства и являются различными осуществлениями одного и того же абстрактного пространства. В дальнейшем мы изучим свойства этого абстрактного пространства и операторы в нем, описывая это пространство при помощи некоторой системы аксиом. Отметим еще понятие сходимости в себе в пространстве . Мы говорим, что последовательность элементов сходится в себе в если для любого заданного положительного существует такое N, что при . Принимая во внимание указанное выше соответствие между и теоремы 7 и 8 из 156], мы можем утверждать, что для того, чтобы последовательность имела предел в необходимо и достаточно, чтобы она сходилась в себе. Предел может быть только один.

Рассмотрим множество К элементов имеющих лишь конечное число координат, отличных от нуля, причем все эти координаты суть рациональные комплексные числа, т. е. числа вида , где а и b — рациональные вещественные числа. Принимая во внимание счетность множества рациональных чисел, видим, что упомянутое множество элементов К есть счетное множество. Покажем, что оно плотно в . Пусть некоторый элемент из элемент из указанного выше множества К. Мы имеем

Пусть — заданное положительное число. В силу сходимости ряда, составленного из мы можем фиксировать такое значение

В конечной сумме

мы можем выбрать рациональные числа настолько близкими к чтобы эта сумма была также При этом будем иметь, в силу Этим и доказано, что упомянутое выше счетное множество К элементов из плотно в Таким образом, пространство сепарабельно. Элементы этого пространства

образуют замкнутую ортогональную и нормированную систему.