107. Операторные уравнения.

Мы будем теперь предполагать, что линейные операторы А, определенные в пространстве X, имеют область значений, также принадлежащую X (X' совпадает с X). При этом А, определенный в X, имеет область значений также в X. Буквой Е мы будем, как и выше, обозначать оператор тождественного преобразования в любом пространстве типа В, т. е. для любого Напомним еще, что оператором аннулирования мы называем линейный оператор, преобразующий любой элемент в нулевой элемент. Его норма равна нулю, а у всякого другого линейного оператора она положительна.

Рассмотрим уравнение

где у — данный и х — искомый элемент X. Переписываем уравнение (97) в виде

Правая часть этого равенства есть оператор из X в X. Обозначим не есть линейный оператор). Мы имеем откуда Если то к уравнению (98) применим принцип сжатых отображений. Мы получаем следующий результат.

Теорема. Если то уравнение (97) при любом заданном имеет единственное решение, и это решение может быть получено методом последовательных приближений из уравнения (98) при любом исходном приближении. В дальнейшем мы часто будем иметь дело с уравнением, содержащим параметр

Если X — вещественное пространство типа В, то X — вещественное число. Для комплексных пространств оно может быть и комплексным. Считая перепишем (99) в виде Из доказанной теоремы следует, что если то уравнение (99) при любом у имеет единственное решение, и это решение может быть получено по методу последовательных приближений из уравнения

Иногда уравнение (97) пишут в виде

При этом условие заменяется условием .

Положим теперь, что А — вполне непрерывный оператор, и напишем два уравнения: одно в пространстве X и другое в :

где — данные элементы, а — искомые.

Напишем еще соответствующие однородные уравнения

где — пулевые элементы соответственно в и . Множества решений этих уравнений являются линеалами. Мы сформулируем сейчас результаты, касающиеся написанных уравнений. Доказательство их будет нами дано в следующей главе для случая гильбертова пространства.

Если одно из уравнений (100) или (101) имеет решение при любой правой части, то и другое уравнение обладает этим же свойством. При этом каждое из указанных уравнений имеет единственное решение при любой правой части, и, тем самым, уравнения (102) и (103) имеют только тривиальные решения .

Если одно из уравнений (102) или (103) имеет решения, отличные от нулевого, то и другое уравнение обладает этим же свойством, и число линейно независимых решений уравнений (102) и (103) конечно и одинаково. Линеалы решений суть конечномерные подпространства. При этом для разрешимости уравнения (100) необходимо и достаточно, чтобы у был ортогонален ко всем решениям уравнения (103), а для разрешимости уравнения (101) необходимо и достаточно, чтобы у был ортогонален ко всем решениям уравнения (102) [IV; 9].

Эти результаты сохраняются, естественно, и для уравнений с параметром. В случае комплексного пространства типа В эти уравнения запишем в виде:

Сформулируем еще один результат. Имеется лишь конечное число значений X, удовлетворяющих условию , где R — любое заданное положительное число, при которых уравнение (106) и, следовательно, (107) имеют решения, отличные от тривиального

Указанные результаты вполне аналогичны теоремам, которые мы имели в теории интегральных уравнений.

Если X — вещественное пространство типа В, то надо брать вещественным и .

Число X, при котором уравнение (106) имеет решения, отличные от тривиального, называется собственным значением оператора А, а число линейно независимых решений этого уравнения — рангом соответствующего собственного значения. Решения образуют полный набор линейно независимых решений уравнения (106), если общий вид всех решений этого

уравнения: , где произвольные числа. Представление всякого решения в указанном виде единственно в виду линейной независимости . Линейно независимые решения можно выбирать различным образом, но в полном наборе линейно независимых решений число их всегда одно и то же. Если уравнение (106) имеет решения, отличные от тривиального, и элементу, входящий в уравнение (104), удовлетворяет указанному выше условию разрешимости, то все решения уравнения (104) представимы формулой

где — какое-либо решение уравнения полный набор линейно независимых решений уравнения (106) и произвольные числа. Все это непосредственно следует из линейности уравнений (104) и (106) [IV; 9, 10].