192. Разложение единицы. Интеграл Стилтьеса.

Переходим теперь к изложению теории спектральной функции (разложение единицы) для самосопряженных операторов. Оно будет во многом аналогично случаю ограниченного самосопряженного оператора. Мы будем подчеркивать те места, в которых нужно учитывать неограниченность оператора.

Назовем разложением единицы семейство проекторов зависящее от вещественного параметра X на промежутке и удовлетворяющее следующим условиям: 1) если , то стремится к оператору аннулирования при при непрерывен справа, т. е. при . При этом при и если А есть некоторый промежуток , то, обозначая мы имеем, как и раньше,

( без общих внутренних точек)

( - общая часть А и ).

Пусть — некоторое разбиение промежутка :

причем верхняя граница разностей конечна. Составим бесконечную сумму

где — некоторый элемент . В силу (53), эта сумма состоит из попарно ортогональных элементов и для ее сходимости необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд [121]

Этот ряд представляет собой сумму для интеграла

и известно [5], что если ряд (56) сходится при некотором разбиении а и некотором выборе то он сходится при всяком разбиении и всяком выборе При этом предел сумм (53) при равен интегралу (57) и существование этого интеграла как несобственного интеграла равносильно сходимости сумм (56). Таким образом, мы имеем право рассматривать суммы (55) для таких элементов для которых сходятся ряды (56), или, что то же, для которых интеграл (57) имеет конечное значение. Обозначим множество таких через . Принимая во внимание, что

можем утверждать, что если то и . Кроме того, очевидно, что если и а — комплексное число, то линеал. Если принадлежит тому подпространству, куда проектирует оператор то слагаемые суммы (56), для которых или равны нулю, т. е. такие принадлежат Принимая во внимание, что при а можем утверждать, что линеал l повсюду плотен в . Далее, если то совершенно так же, как и в [141], мы можем показать, что суммы (55) имеют определенный предел в смысле сходимости в И при Этот предел естественно обозначить в виде интеграла Стилтьеса, и он определяет на линеале l некоторый дистрибутивный оператор

Линеал l мы обозначим, как всегда, через . Напомним, что он состоит из тех элементов для которых интеграл (57) имеет конечное значение. Перемножая скалярно сумму (55) на себя, принимая во внимание (54) и переходя к пределу, получим

причем этот интеграл есть предел сумм (56) при , или его можно понимать как несобственный интеграл с бесконечными пределами. Умножая (56) скалярно на любой элемент у и переходя

к пределу, будем иметь выражение билинейного функционала:

и написанный интеграл есть предел соответствующих сумм при . Если заменить у на и силу (54), получим

и, переходя к пределу при , будем иметь

т. е. интеграл (60) можно понять как обычный несобственный интеграл Стилтьеса, причем есть функция ограниченной вариации.

Отметим, что бесконечный промежуток имеет конечную меру относительно неубывающей функции интеграл (57) мы можем толковать и как интеграл Лебега — Стилтьеса от неограниченной неотрицательной функции по множеству конечной меры [50].

Пусть любой элемент Н. При этом принадлежат тому подпространству, куда проектирует и, как мы видели выше, отсюда следует, что любом выборе элемента . Этого нельзя уже утверждать относительно элемента . Но если т. е. ряд (56) сходится, то, в силу ряд (56) сходится при замене на т. е. если то и для любого Считая х принадлежащим D(А), заменим в сумме на принимая и. за одну из точек деления При этом все слагаемые при обратятся в нулевой элемент, а слагаемые при останутся неизменными, и в пределе мы получим

Написанный интеграл является пределом сумм вида (55) при разбиении промежутка на части. С другой стропы, если мы применим к сумме (55) оператор g, который ограничен а потому

непрерывен, то сказанное выше о слагаемых остается в силе, и в пределе при учитывая непрерывность получим

сравнивая с (62), можем написать

Совершенно так же, при любом будем иметь

Если то из (62) следует, кроме того,

и, устремляя а к , получим

т. е. интеграл (58), как и (57) можно толковать как несобственный интеграл. Из предыдущих формул непосредственно следует

Если не только но и у принадлежит D(А), то, подставляя в (56), у вместо и умножая слева скалярно на получим

Сравнивая с (60) и принимая во внимание, что мы получим т. е. А есть симметричный оператор. Покажем теперь, что А — самосопряженный оператор. Для этого достаточно показать, что если то . Пусть — некоторое разбиение промежутка — подпространство, определяемое проектором . Если то в суммах (55) и (56) все слагаемые при равны нулю, элемент и при подпространства, определяемые проекторами , входят в так что сумма (55) и ее предел принадлежат . Отсюда следует, что и что Положим, что и докажем, что Пусть проекция z в так что а потому . При этом элемент , также принадлежит и ортогонален . По определению А мы имеем . Но ортогонален и потому

Принимая во внимание очевидное равенство

предыдущую формулу и мы получим

откуда

Рассмотрим сумму (56) при . У нее все слагаемые при равны нулю, а у остальных слагаемых, в силу (54),

Таким образом, в пределе сумма (56) в силу (59) дает

и, в силу (67),

Беспредельно увеличивая у, мы видим, что интеграл (57) имеет конечное значение при а потому А есть самосопряженный оператор.

Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме:

Теорема Всякому разложению единицы соответствует самосопряженный оператор А, определенный для тех элементов для которых интеграл (57) имеет конечные значения. Сам оператор А определяется как предел сумм (55), или, кто то же, как интеграл (58). Соответствующий ему билинейный функционал определяется формулой (60).

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Для любого заданного самосопряженного оператора существует разложение единицы такое, что А выражается формулой (58).

Доказательство этой теоремы будет приведено потом. Ниже будет доказана формула, определяющая по и различным соответствуют различные А. Оператор называется спектральной функцией самосопряженного оператора А. Совершенно так же, как и в доказывается, что регулярные точки спектра характеризуются тем, что существует некоторый промежуток постоянства содержащий внутри себя. При этом надо иметь в виду, что при любом и любых конечных а и . Собственные значения характеризуются тем, что имеет скачок при причем разность есть проектор в подпространство соответствующих собственных элементов (включая нулевой элемент)

Положим, что самосопряженный оператор А полуограничен, и пусть — его точная нижняя граница:

При любом вещественном X имеем

откуда

И

Отсюда следует, что все значения X, удовлетворяющие условию суть регулярные точки А. Покажем, что есть точка спектра А. Если бы это было не так, то существовало бы такое что все значения суть регулярные точки А, и есть оператор аннулирования при так что

откуда следует, что при а это противоречит определению Значение называется также нижней границей спектра А.

Оператор называется спектральной функцией самосопряженного оператора А. Мы переходим теперь к краткому повторению свойств общих самосопряженных операторов, которые будут совершенно аналогичны свойствам ограниченных самосопряженных операторов.