208. Спектр симметричного оператора.

Мы ввели выше понятие спектра самосопряженного оператора и установили классификацию его точек. В ближайших параграфах мы сделаем это для замкнутого симметричного оператора и исследуем изменение спектра при симметричных расширениях оператора.

Пусть А — замкнутый симметричный оператор.Число X называется точкой регулярного типа оператора А, если существует такое , что для всех

Из замкнутости А и (161) следует, что есгь подпространство и есть линейный ограниченный на оператор. Обратно, если существует на и есть ограниченный оператор, то отсюда следует (161), т. е. X есть точка регулярного типа. Как и в [129], легко доказывается, что множество точек регулярного типа — открытое множество. Число X называется регулярной точкой А, если выполнено (161) и есть все Н. Если то X не собственное значение А, ибо должно быть ортогогонально к собственным элементам, и ограниченный в Н оператор [186], т. е. выполнено (161).

Если X — вещественная регулярная точка А, то есть ограниченный самосопряженный оператор, и, следовательно, А — самосопряженный оператор. Покажем, что множество регулярных точек — открытое множество. Достаточно показать, что если регулярная, то уравнение

однозначно разрешимо при любом если X достаточно близко к Положим, что

Уравнение (161) перепишем в виде

и оно эквивалентно уравнению

а это последнее однозначно разрешимо при любом , ибо

Как и в [129], доказывается, что если , то

т. е. все невещественные значения X суть точки регулярного типа.

Положим, что точка где , есть регулярная точка. При этом, в силу (163) и сказанного выше о разрешимости уравнения (162), все значения X, удовлетворяющие условию будут также регулярными точками. Отправляясь от регулярного значения и применяя должное число раз проведенное только что рассуждение, мы убедимся в том, что всякое невещественное число у которого знак совпадает со знаком , есть регулярная точка. Это утверждение можно сформулировать в следующем виде:

Лемма. Если один из индексов дефекта или оператора А равен нулю при то он равен нулю для всех X из полуплоскости 0.

Для самосопряженного оператора все невещественные значения X суть регулярные точки. Дадим пример замкнутого симметричного оператора А, у которого нет регулярных точек. Пусть и А есть оператор рассматриваемый на множестве функций таких, что абсолютно непрерывна, на промежутке принадлежит Это замкнутый симметричный оператор [188]. При любом выборе числа X функция принадлежит и ортогональна ко всем функциям представимым в виде

где ортогональна к , откуда и следует, что X не есть регулярная точка.

Назовем спектром оператора А множество точек плоскости X, дополнительное к множеству регулярных точек. Это есть множество тех точек X, в которых не имеет ограниченного обратного, определенного на всем Назовем ядром спектра оператора А множество точек, дополнительное к множеству точек регулярного

типа. Спектр и ядро спектра — замкнутые множества, и первое множество (спектр) содержит второе (ядро спектра). Ядро спектра должно лежать на вещественной оси. Спектр может заполнять всю плоскость, как это видно из приведенного выше примера.

Если А — самосопряженный оператор, то ядро спектра совпадает со спектром [189].

Нетрудно видеть, что ядро спектра А принадлежит ядру спектра любого замкнутого симметричного расширения оператора А. Это следует из того, что принадлежность X ядру спектра А равносильна тому, что существует такая последовательность нормированных элементов из что при Это свойство, очевидно, сохраняется при указанных выше расширениях А.

Проведем теперь классификацию точек ядра спектра оператора А. Предварительно рассмотрим тот случай, когда X есть собственное значение вещественное число). Пусть подпространство соответствующих собственных элементов (включая нулевой элемент). Мы можем представить линеал в виде ортогональной суммы

где есть линеал, состоящий из элементов, содержащихся одновременно в Обозначим через оператор А, определенный на и совпадающий на этом линеале с А. Если X не собственное значение, то отсутствует и совпадает с . В этом случае будем считать, что есть А. Мы можем утверждать, что рассматриваемый как оператор в имеет при всяком X обратный определенный на Значения X, при которых есть неограниченный оператор, принадлежат ядру спектра. Эту часть ядра спектра назовем непрерывной частью ядра спектра. Собственные значения также принадлежат ядру спектра, и эту часть будем называть точечной частью ядра спектра. Всякая точка ядра спектра принадлежит одной из указанных частей, но может принадлежать и им обеим. Будем говорить, что собственное значение принадлежит чисто точечной части ядра спектра, если есть ограниченный на оператор. Всякая точка ядра спектра принадлежит или непрерывной или чисто точечной части ядра спектра и притом только одной из них. При замкнутом симметричном расширении А непрерывная и точечная части ядра спектра могут только расширяться. Нетрудно видеть, что, в силу замкнутости А и непрерывная часть ядра спектра А характеризуется тем, что есть незамкнутый линеал.