164. Унитарные матрицы и матрицы проектирования.

Напомним основное свойство унитарного преобразования

Если элементы матрицы, соответствующей унитарному оператору U, то эти условия запишутся в виде

где при и Принимая во внимание, что можем написать последние равенства в виде

т. e. получается ортогональность матрицы по столбцам и строкам. Отметим, что в случае конечных матриц условия (27) суть следствия (26) [III; 28]. В случае бесконечных матриц эти условия независимы.

Теорема 3. Для того чтобы комплексные числа образовывали матрицу, соответствующую унитарному преобразованию, необходимы и достаточны условия (26) и (27).

Необходимость условий (26) и (27) вытекает из приведенных выше рассуждений. Остается доказать их достаточность, т. е. нам надо доказать, что при наличии этих условий матрице соответствует линейное (ограниченное) преобразование. После этого унитарность этого преобразования следует из того, что условия (26) и (27) равносильны (25), а эти последние характерны для унитарного преобразования [137].

Условие (27) показывает, что

и, следовательно, для любого элемента сходятся ряды [59]

Составим выражение

Беспредельно увеличивая , получаем, в силу условия (26),

и тем более

где — какое-либо фиксированное конечное число. Отсюда совершенно так же, как и в теореме 1 предыдущего параграфа, следует при помощи рассуждения от обратного, написанное неравенство при и беспредельно увеличивая затем , приходим к неравенству

и тем самым ограниченность оператора U доказана. Отметим, что, в силу унитарности мы имеем в формуле (29) обязательно знак равенства.

Рассмотрим теперь матрицу соответствующую некоторому проектору Р в подпространство L. Принимая во внимание, что Р — самосопряженный оператор и , получаем следующие условия:

Аналогично тому, как это мы делали выше для унитарных преобразований, можно показать, что эти условия не только необходимы, но и достаточны для того, чтобы матрице соответствовал проектор. Выберем замкнутую ортогональную нормированную систему так, чтобы часть ортов образовывала замкнутую систему в подпространстве L, а другая часть в дополнительном пространстве . Первые орты в результате применения проектора Р останутся неизменными, а другие аннулируются. Таким образом, при выбранной системе ортов проектору Р соответствует чисто диагональная матрица, главная диагональ которой состоит лишь из единиц и нулей. Иначе говоря, матрица проектирования унитарно эквивалентна чисто диагональной матрице, главная диагональ которой сосгоиг лишь из единиц и нулей.