136. Вполне непрерывные самосопряженные операторы.

Мы исследовали свойства спектра и разложение по собственным функциям вполне непрерывного самосопряженного оператора в [IV; 38, 39]. Все доказательства переносятся без всяких изменений и для пространства . Но в мы постулировали полноту пространства, которой не пользовались в доказательствах IV тома. Тем самым для Н мы получим новые результаты. Сначала сформулируем теорему, которая получается из результатов IV тома: напомним, что все собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

Теорема 1. Всякий самосопряженный вполне непрерывный оператор А, отличный от оператора аннулирования, имеет по крайней мере одно собственное значение, отличное от нуля. Все собственные значения А имеют конечный ранг и вне любого промежутка , где может находиться лишь конечное число собственных значений. Всякий элемент вида разлагается в ряд Фурье по ортогональной нормированной системе собственных элементов соответствующих собственным значениям, отличным от нуля:

Сумма (111) может содержать как конечное, так и бесконечное число слагаемых. Напомним еще, что собственные значения и собственные элементы образующие ортогональную нормированную систему, получаются в результате решения последовательных экстремальных задач для квадратичной формы На этом и основано доказательство основной теоремы в IV томе.

Положим, что сумма (111) содержит бесконечное число слагаемых. Пусть любой элемент Составим разность:

Написанный ряд сходится [121]. В силу (111)

Отсюда видим, что удовлетворяет уравнению

т. е. z или есть нулевой элемент или собственный элемент А, соответствующий собственному значению Пусть полная ортонормированная система собственных элементов, соответствующих собственному значению Если не есть собственное значение, то таких элементов не будет. Если собственное значение, то оно может быть как конечного, так и бесконечного ранга. Принимая во внимание, что z есть решение уравнения (113), можем утверждать, что

где

или, принимая во внимание, что [128], получим , и из (114) следует, что любой элемент разлагается в ряд Фурье по собственным элементам А, если принять во внимание собственные элементы, соответствующие собственному значению Мы доказали таким образом теорему.

Теорема 2. Ортогональная нормированная система собственных элементов вполне непрерывного самосопряженного оператора есть полная система.

Иначе говоря, пользуясь терминологией из [128], можем сказать, что вполне непрерывный самосопряженный оператор имеет чисто точечный спектр.

Все приведенные выше рассуждения применимы и для того случая, когда сумма (111) состоит из конечного числа слагаемых. Если не есть собственное значение, то сумма (111) содержит бесконечное число слагаемых (аксиома 3), и для любого элемента Н имеем

Замечание. Как и в случае интегральных уравнений [IV; 29], имеем для самосопряженного вполне непрерывного оператора А

следующий результат. Если X отлично собственного значения и нуля, то неоднородное уравнение

при любом заданном у имеет единственное решение, определяемое формулой

Если X совпадает с собственным значением и выполнено условие разрешимости уравнения, т. е. у ортогонально ко всем соответствующим собственным элементам, то общее решение уравнения (116) дается формулой (117), в которой все множители при , у которых знаменатель равен нулю, надо заменить произвольными постоянными. Положим, что имеются как положительные, так и отрицательные собственные значения. Пронумеруем как те, так и другие в порядке невозрастающего абсолютного значения, и первые обозначим через , а вторые — через Х, а соответствующие собственные функции через Принимая во внимание разложение (111), получим

отсюда непосредственно следует новая формулировка экстремальных свойств о которых мы говорили выше [ср. IV; 26].

Теорема 3. Собственное значение есть наибольшее значение при и оно достигается при а собственное значение есть наибольшее значение при условиях

и оно достигается при

Аналогично есть наименьшее значение при и оно достигается при есть наименьшее значение при условиях

и оно достигается при .

Докажем теперь теорему Куранта [IV; 187] для пространства И.

Теорема 4. Пусть любые фиксированные элементы Н и — точная верхняя граница значений при условиях

При этом есть наименьшее из чисел при всех возможных выборах элементов . Доказательство аналогично доказательству из [IV; 187]. Мы имеем

и нам остается доказать, что при любом выборе

Будем искать элемент х, подчиняющийся условиям (119), в виде

Условия (119) запишутся в виде следующих уравнений для

Однородная система (122) -уравнений с - неизвестными имеет решения, отличные от нулевого. Добавляя к такому решению постоянный множитель, можем удовлетворить и условию (123). Таким образом, мы нашли элемент вида (121), удовлетворяющий условиям (119). Для этого элемента имеем

Принимая во внимание, что равенство (123) получаем причем удовлетворяет условиям (119). Тем более равное точной верхней границе при условиях (119), не меньше самым неравенство (120) и теорема доказаны. Совершенно аналогично формулируется теорема и для .

Замечание. Нетрудно показать, что точная верхняя граница значений достигается на некотором элементе удовлетворяющем условиям (119).

Действительно, по условию имеется такая последовательность элементов удовлетворяющих условиям (119), что . Принимая во внимание, что можем считать, что слабо сходятся к некоторому элементу причем из слабой сходимости следует [132]:

В силу полной непрерывности А мы имеем . Остается доказать, что . Из следует, что и

. Если , то, вводя нормированный элемент удовлетворяющий условиям (119), мы получили бы

Но из определения следует, что . Полученное противоречие показывает, что и утверждение о том, что достигает своей точной верхней границы доказано. Принимая ко внимание теорему 2 из [132], можем утверждать, что .

Теорема применяется при сравнении собственных значений различных операторов [ср. IV; 188].

Отметим еще одно непосредственное следствие формулы (118) [ср. IV; 26]. Для того чтобы вполне непрерывный самосопряженный оператор А был положительным: при , необходимо и достаточно, чтобы он не имел отрицательных собственных значений.

Докажем теперь, что вполне непрерывный самосопряженный оператор вполне определяется тем характером спектра, который описан в теоремах 1 и 2.

Теорема 5. Пусть линейный самосопряженный оператор обладает следующими свойствами: ортогональная нормированная система его собственных элементов полная, все собственные значения отличные от нуля, имеют конечный ранг и вне любого промежутка , где может находиться лишь конечное число собственных значений. При этом оператор А — вполне непрерывный.

По условию теоремы мы можем расположить в порядке невозрастающего абсолютного значения

и при . Напомним, что если собственные значения имеют ранг , то оно фигурирует в последовательности (124) раз (собственное значение может иметь бесконечный ранг).

Для любого элемента мы имеем, в силу полноты системы , разложение в ряд Фурье

и

Пусть U — ограниченное множество элементов х, т. е. существует такое положительное число , что

если . Нам надо доказать, что множество компактно. Ограниченность множества следует из неравенства . Остается доказать [92], что если выполнено (127), то при любом заданном существует такое целое положительное те, что

В силу при существует такое что При этом

и теорема доказана.