171. Вполне непрерывные операторы в l2.

Мы получили пыш достаточное условие того, что бесконечная матрица определяет вполне непрерывный оператор в а именно, если двойной ряд

сходится, то матрица определяет вполне непрерывный оператор в

Сходимость ряда (90) является только достаточным условием того, чтобы оператор, определяемый матрицей был вполне непрерывным. Можно показать, что необходимое и достаточное условие состоит в том, что предельный переход, указанный в формуле (8), имел место равномерно для всех х и у, нормы которых не превышают единицы. Уравнение в 4 имеет вид

где данный и искомый элементы U. Если А — вполне непрерывный оператор, то для системы (91) имеет место все, что было сказано в [135]. Пусть А — самосопряженный вполне непрерывный оператор и (-полная ортонормированная система его элементов. Пусть U — унитарный оператор в определяемый условиями где прежние орты Если принять за новые орты в оператор А в новых будет: Его составляющие определятся формулами

Следовательно,

т. е. в ортах оператору В отвечает диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные значения оператора. Это остается справедливым и для любого линейного самосопряженного или унитарного оператора с чисто точечным спектром [146]

Оператор А унитарно эквивалентен В, а именно Принимая во внимание сказанное выше, можно утверждать, что матрицы, соответствующие вполне непрерывным самосопряженным операторам в суть матрицы, унитарно эквивалентные диагональным матрицам, у которых диагональные элементы удовлетворяют условиям, указанным в [136].