102. Линейные функционалы в ...

Мы знаем, что в С на конечном промежутке общий вид линейного функционала есть [15]:

где функция ограниченной вариации, непрерывная справа и удовлетворяющая условию причем различные функции с указанными свойствами порождают различные функционалы .

Мы знаем также, что . Можем, таким образом, сопоставить каждому в С функцию с указанными свойствами и

с нормой и отождествить пространство С с пространством V указанных функций. Пространство V есть пространство типа В [96].

Рассмотрим теперь функционалы в С, т. е. в V. Формула (71) при любой фиксированной непрерывной на функции дает такой функционал.

Этим самым пространство С погружается в С. Покажем, что не все функционалы в V представимы формулой (71). Возьмем в качестве функционала в сумму скачков и покажем, что он не представим формулой (71) ни при каком выборе непрерывной функции . Построим следующий элемент V:

Если бы мы имели формулу (71), то получили бы сумма скачков есть единица и, следовательно, т. е. непрерывная функция . Но тогда формула (71) дает , а эта разность не для всякой функции есть сумма скачков. Таким образом, С шире, чем С, т. е. С — не регулярное пространство. Все сказанное выше относится к вещественным функциям, но может быть распространено и на комплексные функции:

2. Установим теперь общую форму линейного функционала в пространстве вещественных функций на ограниченном измеримом множестве из . Пусть такой функционал — характеристическая функция какого-либо измеримого множества g, входящего в . Очевидно и мы обозначим

Покажем, что эта функция множеств, определенная для всех измеримых из вполне аддитивна. Пусть где измеримые множества не имеют попарно общих точек. Ряд

сходится в . Действительно,

и последняя сумма стремится к нулю при в силу полной аддитивности меры. В каждой точке из ряд (73) сходится к

Следовательно, и в он сходится к [62] (или к эквивалентной ей функции), т. е.

причем сходимость можно понимать, как сходимость в . В силу непрерывности функционала из (74) получаем т. е. полную аддитивность функции Если есть множество меры нуль, то

т. e. , если и теорема из [73] дает для представление:

где относительно мы можем утверждать пока, что она суммируема на Таким образом доказано, что

В силу дистрибутивности имеем

для любой ограниченной функции с конечным числом значений. Покажем теперь, что формула верна и для любой ограниченной измеримой на функции функция принадлежит . Положим сначала, что . По теореме 1 из [46] существует последовательность функций с конечным числом конечных значений такая, что равномерно на Тем самым, ограничены на одним и тем же числом. Для мы имеем формулу

Очевидно, что и можно переходить к пределу под знаком интеграла [54] в последней формуле. Непрерывность функционала приводит к формуле (75), которая таким образом установлена для любой неотрицательной ограниченной измеримой на функции Случай ограниченной функции любого

знака непосредственно сводится к рассмотренному путем представления: где положительная и отрицательная части Докажем теперь, что

Подставляя в (75) ограниченную измеримую функцию определяемую следующим образом:

где

получим

ибо . С другой стороны,

и, в силу (78), имеем

откуда

и

Но из (77) следует

и, следовательно,

где урезанная функция . Отсюда следует, что

Пусть теперь любая функция из . Существует последовательность измеримых ограниченных функций которая в стремится к . В сллу непрерывности функционала: и в силу [62]:

Для мы имеем формулу (75), и из сказанного выше следует, что она имеет место и для любой функции . В силу неравенства Гёльдера:

что, совместно с (80), дает

Таким образом, всякий линейный функционал в представим формулой (75), где и имеет место формула (82).

Пусть любая фиксированная функция из . В силу неравенства Гёльдера формула (75) дает линейный функционал в норма которого удовлетворяет неравенству (81), т. е. (75) есть общая форма линейного функционала в Принимая во внимание, что из следует, что функция принадлежит можем подставить это в формулу (75):

Норма равна:

и из (83) получаем

откуда

что совместно с (81) опять дает (82). Таким образом, формула (75), где любая функция из дает общую форму линейного функционала в причем имеет место формула (82).

Эквивалентные функции дают, очевидно, одинаковые функционалы (совпадающие на всех Покажем, что неэквивалентные дают различные функционалы. Это сводится, очевидно, к доказательству следующего утверждения: если и для любого

то эквивалентна нулю. Полагая получим

откуда непосредственно следует, что эквивалентна нулю [51].

Рассмотрим теперь пространство где все пространство . Как и выше, доказывается, что если , то формула (75) определяет линейный функционал в и имеет место равенство (82). Докажем, что всякий функционал в представим в виде (75), где Рассмотрим те функции из которые равны нулю вне промежутка . Они образуют пространство Функционал на для таких функций является функционалом и на и его общий вид есть

где причем . Из сказанного выше непосредственно следует, что эквивалентны на при Таким путем мы получаем функцию эквивалентную на и имеем

Поскольку финитные функции повсюду плотны в мы приходим к тому, что все сказанное выше для имеет место и для Легко распространить полученные результаты и на комплексное пространство причем и функционалы могут принимать комплексные значения. Из сказанного выше непосредственно следует, что пространство можно отождествить с и

тем самым совпадает с Иначе говоря, правая часть формулы (75) при фиксированном дает общий вид линейного функционала в с нормой, равной Таким образом, пространство регулярно. В силу того, что сепарабельно, можно утверждать, что всякая сфера в всякое ограниченное множество) слабо компактна. При имеем есть Мы рассмотрим подробно этот случай в следующей главе. Все сказанное выше справедливо и для Пользуясь установленной выше формулой линейного функционала в докажем следующую теорему:

Теорема. Если измеримая на ограниченном измеримом множестве функция и произведение суммируемо на при любой то

Из условия теоремы непосредственно следует, что может принимать бесконечное значение лишь на множестве меры нуль, и мы можем считать, что принимает лишь конечные значения. Определим последовательность функций:

которая стремится к во всякой точке Если любая функция из то причем произведение по условию, суммируемо на Отсюда следует:

Но как ограниченные функции, принадлежат и интегралы, стоящие в левой части, суть линейные функционалы от Из того, что они на любом элементе имеют предел, следует, что их нормы ограничены некоторым числом А [100]

откуда в пределе получаем [54]

что и требовалось доказать.

Случай представляет особенность. Можно показать, что пространство изометрично М (пространству измеримых ограниченных функций) и нерегулярное пространство.

3. Рассмотрим теперь линейные функционалы в Пусть такой функционал. Всякому элементу пространства соответствует урезанный элемент и из того факта, что ряд с общим членом сходится, непосредственно следует, что Введем элементы такие, что при Обозначим . В силу дистрибутивности имеем пользуясь непрерывностью получим

Займемся числами Введем элементы следующим образом:

Мы имеем

и

откуда

и в пределе при

т. е.

Далее, неравенство Гёльдера, примененное к сумме (85), показывает, что и, в силу (86), получаем

Совершенно так же, как и для можно показать, что формула (85), где любой элемент дает общую форму линейного функционала в причем элемент v определяется функционалом единственным образом и имеет место формула (87). Отсюда следует, что есть и что регулярное пространство.

Имеет место теорема, совершенно аналогичная теореме, доказанной выше: если ряд

где фиксированы, сходятся при любом выборе