7. Физическая интерпретация.
Дадим физическую интерпретацию функции 
и интеграла Стилтьеса. Положим, что на промежутке 
распределена материя, и пусть 
масса, находящаяся на промежутке 
масса, находящаяся в точке 
если такая сосредоточенная масса существует. В противном случае полагаем 
. Разность 
дает массу, содержащуюся на промежутке 
При стремлении положительного числа h к нулю промежуток 
сжимается, и любая точка выйдет из промежутка 
при достаточно малом 
так как левый конец не принадлежит этому промежутку. Функция 
является возрастающей функцией (масса — положительна), и, в силу сказанного выше, естественно подчинить функцию 
характеризующую распределение масс, условию 
или 
т. е. функция 
должна быть непрерывна справа во всех точках разрыва непрерывности, кроме 
Не имеет смысла говорить о непрерывности на правом конце промежутка, ибо при 
функция
не определена. Внутри промежутка сосредоточенные массы имеются в точках разрыва непрерывности 
и величина сосредоточенной массы определяется разностью 
. То же и для правого конца промежутка. Общее количество материи на промежутке 
равно 
. Все сказанное годится как для конечного, так и для бесконечного промежутка. Характерным в предыдущих рассуждениях был 
факт, что мы не пользовались понятием плотности распределения. Центр тяжести распределенной материи будет определяться формулой
Эта формула годится для конечного промежутка. В случае бесконечного промежутка интегрируемая функция 
перестает быть ограниченной, и надо использовать определение несобственного интеграла.
В теории вероятностей функция 
выражает обычно вероятность распределения некоторой случайной величины, а именно 
равно вероятности того, что случайная величина принадлежит промежутку 
При этом, как и выше, 
непрерывна справа. Понятие интеграла Стилтьеса от непрерывной функции непосредственно распространяется, как мы увидим, на тот случай, когда 
есть разность двух неубывающих функций: 
Легко дать физическую интерпретацию 
в этом случае. Положим, что на промежутке 
распределены положительные и отрицательные заряды. При этом 
определяет общий положительный заряд на промежутке 
общий отрицательный заряд на этом промежутке.
