77. Абсолютно непрерывные функции многих переменных.

Аналогично тому, как мы строили абсолютно непрерывные функции точки от одной переменной [74], введем понятие абсолютно непрерывной функции многих переменных. Ограничимся случаем функций двух переменных. Пусть на двумерном промежутке задана непрерывная функция . Мы можем с ее помощью построить функцию промежутков содержащихся в , а именно, если промежуток 5 определяется неравенствами , то положим, как и раньше,

причём замкнутость или незамкнутость о не играет роли, ибо по условию непрерывна. Если мы добазим к сумму в которой первое слагаемое зависит только от и второе юлько от у, то это не повлияет на Функция промежутков называется абсолютно непрерывной, если она удовлетворяет условию, аналогичному условию (24) из [74], т. е. если любому заданному положительному отвечает такое положительное что если — попарно не налегающие друг на друга промежутки, сумма площадей которых то

Определение. Функция называется абсолютно непрерывной функцией двух переменных если определяемая формулой (53), есть абсолютно непрерывная функция промежутков, и, если, кроме того, — абсолютно непрерывные функции у и

Последняя оговорка об абсолютной непрерывности на нижней и левой сторонах промежутка необходима ввиду возможности добавления к упомянутой выше суммы . Напишем очевидную формулу

Первое слагаемое справа есть где у есть промежуток а и эта функция, как и в [75], представима неопределённым двойным интегралом от суммируемой функции. Второе и третье слагаемые справа суть абсолютно непрерывные функции х и у и, следовательно, представимы простыми неопределёнными интегралами. Таким образом, всякая абсолютно непрерывная функция F(х, у) может быть представлена формулой

Наоборот, нетрудно видеть, что всякая представимая последней формулой, функции абсолютно непрерывна. Мы можем переписать, пользуясь теоремой Фубини, последнюю формулу в виде

или

Отсюда видно, что если абсолютно непрерывная функция двух переменных, то она есть абсолютно непрерывная функция при любом фиксированном значении у и абсолютно непрерывная функция у при любом фиксированном значении Обратное утверждение неправильно, т. е. функция может быть абсолютно непрерывной по каждой переменной и не быть в то же время абсолютно непрерывной функцией двух переменных.

Подынтегральная функция первых слагаемых формул (55) и (56) даёт в силу определения [74] частные производные от абсолютно непрерывной функции

Подынтегральная функция в этих формулах определяет смешанную производную второго порядка:

Если частные производные сами суть абсолютно непрерывные функции двух переменных, то мы можем определить все частные производные второго порядка. Если все они суть также абсолютно непрерывные функции двух переменных, то мы можем определить все производные третьего порядка и т. д.

Можно показать, что частные производные суть почти везде в пределы соответствующих отношений. Так, например, есть предел отношения Абсолютно непрерывную функцию можно толковать как функцию точки на плоскости. Если мы введем на этой плоскости вместо прежних декартовых координат новые то получим новую функцию и она может оказаться уже не абсолютно непрерывной по новым переменным. В качестве примера рассмотрим абсолютно непрерывную функцию

где непрерывная, но не абсолютно непрерывная функция, построенная нами в [76] для промежутка [0,1]. Мы ее продолжаем, считая при при Предыдущая формула определяет абсолютно непрерывную функцию на всей плоскости (она фактически зависит только

от Поворачивая координатные оси вокруг начала на 45°, получим в новых координатах

Частная производная этой функции выражаемая формулой

не является абсолютной непрерывной функцией у при заданном что, в силу (57), должно было бы иметь место, если бы была абсолютно непрерывной функцией двух переменных. Отметим, что построенная функция при любом выборе декартовых координат абсолютно непрерывна но каждой переменной при всех значениях другой переменной. Аналогично предыдущему строится теория абсолютно непрерывных функций любого числа переменных.

В следующей главе мы дадим более общее определение частных производных, которое будет применимо не только к абсолютно непрерывным функциям многих переменных.