47. Класс В.

В [41] мы указали некоторое замкнутое тело точечных множеств, такое, что всякое множество, принадлежащее этому телу, входит в любое тело множеств Совершенно аналогично мы укажем сейчас некоторое семейство функций, такое, что любая функция этого семейства является измеримой функцией при всяком выборе измеряющей функции .

Определение. Функция определенная на множестве , измеримом В, называется В-функцией, если множества

для любого вещественного а суть множества, измеримые В.

Из этого определения непосредственно следует, что всякая функция измерима при любом выборе . Можно указать другое определение функций, вполне аналогичное тому определению множеств, измеримых В, которое мы приняли в [41]. Рассмотрим всевозможные семейства функций, обладающие следующими двумя свойствами: во-первых, семейство содержит все функции, непрерывные на , и, во-вторых, если семейство содержит последовательность функций сходящуюся в каждой точке , то это семейство содержит и предельную функцию. Семейством функций назовем семейство функций, принадлежащих всем семействам функций с указанными выше двумя свойствами. Мы не останавливаемся на доказательстве эквивалентности последнего определения и того, которое было указано выше.

Войдем в некоторые подробности, связанные с последним определением. Всякая непрерывная функция есть -функция, и обычно

говорят, что такая функция принадлежит нулевому классу. Если функция является предельной функцией для последовательности непрерывных функций, сходящейся в каждой точке g, причем сама функция не является непрерывной, то говорят, что такая функция принадлежит первому классу. Все функции первого класса также суть -функции. Если функция является предельной функцией для последовательности функций первого класса, сходящейся в каждой точке g, причем сама функция не является функцией первого класса, то говорят, что принадлежит второму классу. Все функции второго класса также суть -функции. Аналогичным образом определяются следующие классы функций, и все функции этих классов суть -функции. В этом построении можно идти и дальше. Пусть есть предельная функция для последовательности функций причем каждая функция принадлежит некоторому классу с конечным номером, и сама функция не принадлежит ни одному классу с конечным номером. При этом говорят, что функция принадлежит классу функций с трансфинитным номером а). Все функции этого класса суть -функции. Дальше определяется класс функций с трансфинитным номером и т. д. Указанным выше методом можно получить все -функции. Это утверждение требует дополнительных разъяснений, касающихся трансфинитных чисел, на чем мы не можем останавливаться.

Можно показать, что всякая функция измеримая на множестве g, измеримом эквивалентна на этом множестве некоторой -функции .