85. Пополнение метрического пространства.

Назовем последовательность элементов X фундаментальной (или сходящейся в себе), если для нее выполнено условие (3). Если X — не полное пространство, то не всякая фундаментальная последовательность имеет предел. Покажем, что в этом случае к пространству можно присоединить новые элементы (иногда их называют «идеальными элементами») при соответствующем расширении понятия расстояния так, что полученное таким образом метрическое пространство будет уже полным.

Начнем с доказательства леммы:

Лемма. Если две срундаменпгальные последовательности, то существует предел числовой последовательности в силу откуда Переставляя значки и пользуясь (1), получим Из последних двух неравенств следует:

При беспредельном возрастании тип правая часть стремится к нулю, и, следовательно, для числовой последовательности выполнен признак Коши существования предела, что и требовалось доказать.

Распределим все фундаментальные последовательности на классы, а именно, отнесем к одному классу такие фундаментальные последовательности для которых Если а также входят в один класс, то входят в один класс, ибо из следует, в силу что . Для последовательностей входящих в разные классы, предел будет отличным от нуля (положительным). Из (2) следует также, что если последовательность имеет в X предел то любая другая последовательность того же класса также сходится и имеет тот же предел . В силу непрерывности расстояния, последовательности, входящие в различные классы, не могут иметь одного и того же предела. Указанные классы фундаментальных последовательностей разобьются, таким образом, на два типа. Опишем сначала классы первого типа. Пусть какой-либо элемент X. Мы будем иметь класс последовательностей, имеющих предел, равный . К этому классу принадлежит, например, последовательность у которой все элементы равны Для всякого будет свой класс последовательностей. Классы второго типа состоят из последовательностей не имеющих предела в X. Если X — полное, то классов второго типа нет. Пусть X — не полное пространство. Построим теперь новое метрическое пространство X, за элементы которого примем указанные выше классы фундаментальных последовательностей X. В X надо ввести еще понятие расстояния и проверить справедливость его трех основных свойств. Пусть х и у — два элемента X. Возьмем из соответствующих им классов последовательностей две какие-либо последовательности и определим формулой

Покажем, что неотрицательное число не зависит от выбора из классов, соответствующих х и у. Пусть какие-нибудь последовательности из этих классов и . Нам надо доказать что . В силу

Принимая во внимание, что и переходя в написанном неравенстве к пределу, получим . Совершенно аналогично можно получить и тем самым . Таким образом, формула (4) определяет однозначно Проверим теперь три основных свойства. Очевидно

1) Пусть . Отсюда следует, что последовательности из одного класса, т. е.

2) Свойство непосредственно следует из Выбираем из классов последовательностей соответствующих х, у и z последовательности . Имеем

Пусть элементу соответствует класс первого типа и есть предел последовательностей этого класса. Мы можем отождествить такой элемент из X с указанным элементом из X. Элементы х, которым соответствуют классы второго типа, являются теми элементами X, которые не входили в X. Если х и у — элементы соответствующие классам первого типа, а отождествленные с ними по предыдущему элементы из X, то в формуле (4) можем Тюложить при всяком и получим

т. е. для элементов, входящих в X, новое расстояние совпадает с прежним. Если соответствует классу первого типа соответствующий элемент — второго типа, то формула (4) дает

Покажем еще, что если последовательность входит в класс, определяющий элемент то при .

Мы имеем по определению . Но, в силу того, что фундаментальная последовательность имеет место (3) и при , т. е. при .

Покажем теперь, что X плотно в X, т. е. если любой элемент X и любое заданное положительное число, то существует такой элемент из X, что . Если элементу соответствует класс первого типа и отождествлен с элементом из X, то при любом мы можем положить ибо . Пусть не входит в X, и ему соответствует фундаментальная последовательность Фиксируем такое , что при и покажем, что можем положить Действительно, и, в силу при получаем

Докажем теперь, что X есть полное пространство. Пусть есть фундаментальная последовательность в X, т. е. при . Надо доказать, что в X существует такой элемент , что при . В силу доказанного выше, при любом существует такой элемент из X, что Нетрудно видеть, что последовательность элементов X суть фундаментальная:

Последовательность входит в некоторый класс, определяющий некоторый элемент из X. Покажем, что . Это следует из неравенства

и того, что , как это мы видели выше. Полнота X доказана.

Докажем еще теорему об единственности пополнения метрического пространства X.

Теорема. Пополнение пространства X, при котором X плотно в новом пространстве, единственно с точностью до изометрии.

Пусть Y — полное метрическое пространство, содержащее и в котором X плотно. Нам надо доказать, что Y изометрично X. При этом предполагается, конечно, что расстояние между двумя элементами из К, принадлежащими X, такое же, что и в X. Пусть Y — некоторый элемент Y. Поскольку X плотно в Y, существует такая последовательность элементов из X, что в Y, и тем самым фундаментальная последовательность в Y и в Этой последовательности соответствует определенный элемент из X. Нетрудно видеть, что не зависит от выбора важно лишь, что Приведем в соответствие указанному элементу у из У. Пусть теперь у нас имеется определенный элемент 5? из Берем какую-нибудь определяющую его последовательность элементов из X. Она является фундаментальной в полном пространстве Y и тем самым определяет элемент из Y. Нетрудно видеть, что у не зависит от выбора последовательности важно лишь, что она определяет Приводим у в соответствие с . Таким путем, как легко видеть, мы устанавливаем биоднозначное соответствие между элементами Y и X. Остается доказать, что .

Это следует из определения в X и непрерывности расстояния в Y:

Мы подробно остановились на пополнении метрического пространства, поскольку в приложении теории метрических пространств этот процесс играет существенную роль, и он позволяет ограничиваться рассмотрением полных пространств. Приведем три простых примера.

1. Пусть - пространство всех вещественных рациональных чисел причем расстояние определяется формулой Очевидно, что удовлетворяет всем трем условиям, входящим в определение метрического пространства. Возьмем некоторую фундаментальную последовательность вещественных рациональных чисел По признаку Коши она обязательно имеет предел, но если этот предел есть иррациональное число, то последовательность в X не имеет предела, и, следовательно, X есть неполное пространство. Его пополнение вводит еще и все иррациональные числа, и пространство X всех вещественных чисел есть уже полное пространство.

2. Рассмотрим пространство С всех вещественных функций непрерывных на конечном промежутке и определим расстояние формулой [14]:

Нетрудно проверить допустимость такого определения . Сходимость есть в данном случае равномерная сходимость на промежутке и если при , то существует такая непрерывная функция что равномерно [I; 144], т. е. С — пространство полное.

3. Рассмотрим теперь пространство F тех же непрерывных функций на промежутке но с другим определением расстояния:

Оно также является допустимым. Возьмем фундаментальную последовательность из

Она имеет предел в смысле метрики (5) [56], но предельная функция может быть любой функцией из поскольку

непрерывные функции повсюду плотны . Если предельная функция не эквивалентна непрерывной функции, то такая фундаментальная в F последовательность не имеет предела в F, т. е. пространство F неполное. Его пополнение дает функции из эквивалентные непрерывным функциям, и превращает F в 1.2.

Вместо функции одной переменной мы могли бы рассмотреть множество функций -переменных непрерывных на ограниченном замкнутом множестве -мерного пространства.

Отметим еще раз, что при пополнении конкретного метрического пространства важно уметь истолковать конкретный смысл новых элементов, получающихся при пополнении. В последнем примере это функции из не эквивалентные непрерывным функциям. Отметим еще, что, как мы видели выше, пространство можно рассмотреть на любом измеримом множестве. Мы рассмотрели случай ограниченного замкнутого множества, поскольку исходили из пространства F непрерывных функций.

Укажем одну теорему, которая имеет место в полных метрических пространствах. В дальнейшем открытую сферу в X с центром и радиусом будем обозначать и замкнутую сферу .

Теорема. Пусть в полном метрическом пространстве X имеется такая последовательность замкнутых сфер что каждая последующая сфера принадлежит предыдущей и радиусы при . При этом существует точка, принадлежащая всем и такая точка единственна.

По условию и, следовательно, при всяком т. е. последовательность фундаментальна, и, в силу полноты имеет предел, который обозначим Возьмем какую-либо фиксированную сферу и покажем, что

Действительно, все элементы последовательности имеющей пределом, принадлежат по условию теоремы, и, поскольку есть замкнутое множество, и

Предположим теперь, что существует элемент принадлежащий всем . Докажем, что . Так как принадлежат всем то . В пределе это неравенство дает откуда следует, что совпадает с Теорема доказана.

Отметим еще, что всякое замкнутое множество U полного метрического пространства X есть также полное метрическое пространство (при этом предполагается, очевидно, что расстояние в U равно расстоянию между х и у в X). Сказанное выше непосредственно следует из того, что всякая фундаментальная в U последовательность имеет предел в и этот предел должен принадлежать U, поскольку U — замкнутое множество.