165. Самосопряженные матрицы.

Самосопряженные матрицы А характеризуются условиями (13) и (6). Собственные значения и собственные элементы таких матриц определяются из того условия, что бесконечная система

имеет в решение, отличное от нулевого. Если собственные элементы образуют замкнутую ортогональною нормированную систему.

и мы примем за оргы, то оператору А будет соответствовать матрица с элементами

т. е. мы получим чисто диагональную матрицу с числами на главной диагонали. Вообще для того, чтобы самосопряженная матрица имела чисто точечный спектр, необходимо и достаточно, чтобы она была унитарно экнииалентна чисто диагональной матрице. В указанном выше случае выбора ортов мы имеем

В общем случае для самосопряженной матрицы существует такое разложение единицы т. е. неубывающая матрица проектирования что

и имеют место формулы

т. е.

и

При этом мы, в силу свойств разложения единицы, имеем

и вообще

причем в правой части стоит разность значений на концах промежутка являющегося пересечением промежутков и Если непрерывная функция на промежутке то оператору соответствует матрица с элементами

Можем написать [43]

Принимая во внимание, что билинейная форма

есть функция ограниченной вариации от X, можем утверждать, что функции суть функции ограниченной вариации от выражение (41) дает неубывающую функцию от X, и отсюда непосредственно следует, что функции не убывают. Если понимать интегралы (39) как интегралы Лебега—Стилгьеса, то формула (39) применима для широкого класса функций который был нами указан в [155]. Достаточно предположить, что ограничена и есть - функция [47]. При этом она будет измеримой и относительно любой неубывающей функции. В случае чисто непрерывного спектра все функции непрерывны. Верно и обратное утверждение. В случае смешанного спектра рассматриваем подпространство L, в котором оператор А имеет чисто точечный спектр, и дополнительное подпространство , в котором А имеет чисто непрерывный спектр. Вводим в этих подпространствах замкнутые ортогональные и нормированные системы. Обозначая через элементы в L и через элементы в можем написать билинейную и квадратичную форму в виде

где непрерывны.

Рассмотрим резольвенту матрицы А, т. е. матрицу с элементами определяемую формулой

Мы имеем

причем считается, что не принадлежит спектру А. Отметим, что, в силу формулы (39), целые положительные степени А имеют представление вида

Если не принадлежит спектру А. т. е. все постоянны и некоторой окрестности то существует ограниченная обратная матрица и для ее степеней мы имеем формулы