165. Самосопряженные матрицы.
Самосопряженные матрицы А характеризуются условиями (13) и (6). Собственные значения и собственные элементы таких матриц определяются из того условия, что бесконечная система
имеет в 
решение, отличное от нулевого. Если собственные элементы 
образуют замкнутую ортогональною нормированную систему.
и мы примем за оргы, то оператору А будет соответствовать матрица с элементами
т. е. мы получим чисто диагональную матрицу с числами на главной диагонали. Вообще для того, чтобы самосопряженная матрица имела чисто точечный спектр, необходимо и достаточно, чтобы она была унитарно экнииалентна чисто диагональной матрице. В указанном выше случае выбора ортов мы имеем
В общем случае для самосопряженной матрицы 
существует такое разложение единицы т. е. неубывающая матрица проектирования 
что
и имеют место формулы
т. е.
и
При этом мы, в силу свойств разложения единицы, имеем
и вообще
причем в правой части стоит разность значений 
на концах промежутка 
являющегося пересечением промежутков и 
Если 
непрерывная функция на промежутке 
то оператору 
соответствует матрица с элементами
Можем написать [43]
Принимая во внимание, что билинейная форма
есть функция ограниченной вариации от X, можем утверждать, что функции 
суть функции ограниченной вариации от 
выражение (41) дает неубывающую функцию от X, и отсюда непосредственно следует, что функции 
не убывают. Если понимать интегралы (39) как интегралы Лебега—Стилгьеса, то формула (39) применима для широкого класса функций 
который был нами указан в [155]. Достаточно предположить, что 
ограничена и есть 
- функция [47]. При этом она будет измеримой и относительно любой неубывающей функции. В случае чисто непрерывного спектра все функции 
непрерывны. Верно и обратное утверждение. В случае смешанного спектра рассматриваем подпространство L, в котором оператор А имеет чисто точечный спектр, и дополнительное подпространство 
, в котором А имеет чисто непрерывный спектр. Вводим в этих подпространствах замкнутые ортогональные и нормированные системы. Обозначая через 
элементы в L и через 
элементы в 
можем написать билинейную и квадратичную форму в виде
где 
непрерывны.
Рассмотрим резольвенту матрицы А, т. е. матрицу с элементами 
определяемую формулой
Мы имеем
причем считается, что 
не принадлежит спектру А. Отметим, что, в силу формулы (39), целые положительные степени А имеют представление вида
Если 
не принадлежит спектру А. т. е. все 
постоянны и некоторой окрестности 
то существует ограниченная обратная матрица 
и для ее степеней мы имеем формулы
