176. Спектральная функция (продолжение).

Спектральная функция была введена для весьма общих интегральных операторов Карлеманом в его работе „Sur les equations integrates singulieres a noyau reel et symetrique (1921). Изложение этой теории с современной точки зрения имеется в книге Stone’a „Linear transformations in Hilbert Space...". (1932) и в статье H. И. Ахиезера „Интегральные операторы с ядрами Карлемана („Успехи математических наук", 1947). В этих работах исследуются интегральные операторы более общего типа, чем самосопряженные ограниченные операторы, о которых сейчас мы говорим. Случай ограниченных самосопряженных операторов исследовался Гильбертом, Хеллингером и другими.

Мы приведем в общих чертах результаты для последнего случая. Ядро ограниченного самосопряженного оператора К можно аппроксимировать ядрами которым соответствуют вполне непрерывные самосопряженные операторы. Это дает возможность показать, что оператор определяемый формулами (112), где спектральная функция оператора К есть при интегральный оператор и имеют место формулы

а также формула (115). В формуле (119) интеграл, стоящий справа, надо понимать как несобственный.

Будем считать, что оператор (97) не имеет точечного спектра, и приведем для него формулы общей теории из (117). Пусть суть элементы соответствующие из [149], причем можно считать, что образуют ортонормированную систему. Пользуясь можно получить полный набор дифференциальных решений:

В точке оператор имеет скачок, равный

Мы имеем

и, если какие-либо два элемента из , то полагая

можем написать формулы из [149] в виде

где — границы оператора, а интеграл, стоящий в левой части формулы (124), надо понимать как повторный в каком-либо порядке. Если принадлежит линеалу на котором интеграл (99) имеет смысл, то указанный интеграл существует как двойной интеграл. Остальные формулы из [149] имеют вид

В случае бесконечного числа слагаемых ряды должны сходиться в среднем к величинам, стоящим слева.

Дифференциальные решения к удовлетворяют уравнению

причем мы, как всегда, считаем к Свойства ортогональности таких решений выражаются формулой

При построении указанных выше формул можно исходить из любой полной ортогональной системы дифференциальных решений . В следующих параграфах мы рассмотрим примеры интегральных операторов в