186. График оператора.

Наряду с пространством Н рассмотрим пространство Н, элементы которого суть пары (х, у) элементов х и у из , причем умножение на число и сложение определяются в равенствами

скалярное произведение равенством

Нетрудно проверить справедливость всех аксиом. Если А — оператор в то множество F(А) элементов пространства Н при называют графиком оператора А. Все элементы этого множества однозначно определяются своими абсциссами (первым элементом пары). Обратно, если все элементы некоторого множества F элементов Н однозначно определяются своими абсциссами, то в Н существует оператор (не обязательно дистрибутивный), графиком которого и является множество F. Замкнутость оператора А равносильна, как нетрудно видеть, тому, что множество F(А) замкнуто в Н. Если А — дистрибутивный оператор, определенный на линеале, то линеал в . В дальнейшем, как и выше, мы будем говорить только о дистрибутивных операторах, определенных на линеалах.

Определим во всем Н оператор U равенством

Нетрудно видеть, что U — унитарный оператор и что Пусть А — некоторый оператор в Н. Составим скалярное произведение некоторого элемента множества на какой-либо элемент

Пусть замкнутый в Н оператор и плотно в Я. Докажем формулу разложения Н на два ортогональных подпространства:

Если элемент ортогонален , то из (11) следует, что при или, иначе говоря, Обратно из (11) следует также, что если то элемент ортогонален . Для доказательства (12) остается только отметить, что из замкнутости следует, что — подпространства пространства .

Если оператор А не замкнут, но как и выше, плотно в , то вместо (12) имеем

Далее разность есть множество элементов ортогональных , или, что то же, , т. е. в силу (11), множество состоит из пар удовлетворяющих условию при и потому существование оператора А равносильно тому, что элементы этого множества однозначно определяются абсциссой х.

В силу сказанного справедлива следующая лемма.

Лемма. Для существования оператора А необходимо и достаточно, чтобы элементы множества

однозначно определялись своими абсциссами.

Докажем теперь следующую теорему.

Теорема . Если оператор А определен на плотном множестве и допускает замыкание, то существуют и

Предположим сначала, что А — замкнутый оператор. Из формулы (12) и следует

т. е. элементы множества однозначно определяются своими абсциссами, и, в силу леммы, это множество определяет график оператора, сопряженного с А, т. е. оператора А. Но это множество есть F(А), откуда .

Пусть А — не замкнутый оператор, но допускает замыкание. По доказанному выше . Но, с другой стороны, откуда и следует (14).

Следствие. Если существуют , то А допускает замыкание [185] и из (14) следует

Теорема 2. Если А — замкнутый оператор и то А — ограниченный оператор.

Из условий настоящей теоремы и теоремы 1 следует, что плотно в Н и . Докажем сначала, что существует такое положительное число что

Для этого рассмотрим скалярное произведение:

Оно определяет и Н некоторый линейный (ограниченный) функционал при фиксированном из . Если то последовательность функционалов на любом элементе у из Н стремится к пулю, и, следовательно, существует такое положительное число что [100]

Если бы оператор А не имел ограниченной нормы, то существовала бы такая последовательность для которой Но это противоречит (16), ибо, полагая в получим Игак, на Но тогда А может быть распространен на все Ну и, так как А есть замкнутый оператор, то Оператор сопряженный с ограниченным оператором А — сам ограничен, и теорема доказана.

Отметим еще, что если а — число и существует А, то существует и Если В есть ограниченный линейный оператор, заданный на всем , а А имеет А, то существует и равен .