126. Границы самосопряженного оператора.
Пусть А — самосопряженный оператор. Принимая во внимание (5) и (33), мы можем написать 
или, если принять, что 
то получим 
. Таким образом, если взять всевозможные нормированные элементы 
т. е. такие элементы, что 
, то множество вещественных чисел 
ограничено снизу и сверху. Обозначим через 
точную нижнюю границу и через М точную верхнюю границу этого множества:
Числа 
и М называются обычно границами самосопряженного оператора А. Согласно определению точных границ, мы можем написать неравенства
Принимая во внимание возможность вынесения постоянных множителей из скалярного произведения, можем написать для элемента 
с любой нормой следующие неравенства:
Оказывается, что норма оператора 
чрезвычайно просто выражается через его границы 
и М, а именно имеет место следующая теорема:
Теорема 1. Норма 
равна наибольшему из двух чисел 
.
Доказательство этого утверждения является буквальным повторением доказательства теоремы 3 из [IV; 36 и 39], в которой доказывается, что 
, а это и совпадает с утверждением формулированной теоремы. Отметим еще, что теорема 2 из [IV; 36] совпадает с утверждением 
которое было доказано в предыдущем параграфе.
Введем некоторые новые понятия.
Определение. Самосопряженный оператор А называется положительным (неотрицательным), если соответствующий ему квадратичный функционал 
. Для положительного оператора характерным является неравенство 0, т. е. тот факт, что его нижняя граница неотрицательна. Далее мы говорим, что
самосопряженный оператор А больше самосопряженного оператора В, и пишем 
если А и В не совпадают и разность 
есть положительный оператор. Совершенно аналогично определяется отрицательный оператор. Напомним, что в случае 
-мерного пространства самосопряженная матрица называется положительной, если соответствующая ей форма Эрмита
принимает лишь неотрицательные значения. Положительность матрицы равносильна тому, что среди ее собственных значений нет отрицательных. Если 
меняет знак при различном выборе 
то самосопряженный оператор А нельзя, конечно, назвать ни положительным, ни отрицательным. В случае конечномерного пространства это будут те самосопряженные матрицы, у которых имеются собственные значения разных знаков.
Теорема 2. Если А — самосопряженный оператор, то 
положительный оператор. Если А — любой линейный оператор, то операторы 
и 
— самосопряженные и положительные.
Первое утверждение непосредственно следует из формулы
и второе утверждение из формул
