119. Пространство ...

Пусть D — конечная или бесконечная область пространства множество всех финитных непрерывных в D функций имеющих в D непрерывные производные до порядка Очевидно, что есть линейное пространство. Введем в нем аналогично случаю следующую норму:

Замыкание по этой норме приведет нас к пространству типа В, которое мы обозначим через . Элементы этого пространства суть ограниченные функции, непрерывно дифференцируемые в D до порядка причем на границе D сама функция и ее упомянутые производные обращаются в нуль.

При различных значениях пространства естественно вкладываются одно в другое: если причем множество элементов плотно в Это легко показать, применяя процесс усреднения.

Рассмотрим сопряженное с пространство и обозначим его через (пространство линейных функционалов для Легко видеть, что для

Примерами элементов могут служить функционалы, определяемые с помощью суммируемого по D ядра равенством

Их норма удовлетворяет неравенству

Такие функционалы нередко называют функционалами типа функции и отождествляют с ядрами, определяющими эти функционалы. Остальные функционалы называют обобщенными функциями. Функционалы типа функции не исчерпывают всего Так, например, функционал определяемый равенством

где фиксированная точка не допускает представления (205) с суммируемым по D ядром. Говорят, что соответствующее этому функционалу ядро есть дельта-функция сосредоточенная в точке и пишут

Но функция не является функцией в обычном смысле. Однако, как мы покажем, элементы , представимые в форме (205), с кусочно-непрерывным ядром плотны в Точнее, имеет место:

Теорема. Функционалы типа функции с кусочно-непрерывным ядром плотны в в смысле слабой сходимости функционалов. Предварительно докажем следующую лемму:

Лемма. Для любого фиксированного элемента при заданном существует такая область лежащая строго внутри D, что

В силу определения существует последовательность элементов которая стремится к в норме (204), и потому существует такой значок что при любом

Функция срте отлична от нуля лишь в некоторой области указанного выше типа, так что для из последнего неравенства следует:

и в пределе при мы и получаем (208).

Переходим к доказательству формулированной выше теоремы. Пусть Возьмем усредняющее ядро Очевидно, что для принадлежащего какой-либо ограниченной области лежащей внутри D и отстоящей от границы D на расстояние, не меньшее как функция у, принадлежит так что функция

определена для . В силу бесконечной дифференцируемости и непрерывности, функционала , она также будет иметь непрерывные производные всех порядков по Определим теперь для всех кусочно-непрерывную функцию

и возьмем последовательность стремящуюся к нулю, причем будем считать выбранными так, что и

в пределе стремится к D. Докажем, что функционалы определяемые равенством

стремятся к взятому функционалу т. Для этого возьмем произвольную функцию и докажем, что разность

стремится к нулю при откуда и будет следовать теореме. Согласно лемме при заданном в 0 можно указать такую ограниченную область , лежащую строго внутри D, что для будет справедливо неравенство (208). Будем считать k настолько большим, что Обозначим

Суммы Римана для этого интеграла

где мера частичных областей, a принадлежат этим областям, и их производные до порядка l по у сходятся равномерно по у к функции и ее соответствующим производным при беспредельном измельчании частичных областей ввиду непрерывности и бесконечной дифференцируемости по у. Но, в силу дистрибутивности функционала и его непрерывности в норме (204), мы имеем

и в пределе

так что выражение (210) для можно записать в виде

Функция не есть обычное усреднение с ядром ибо область интегрирования может не содержать всего шара если Однако если у принадлежит какой-либо строго внутренней ограниченной подобласти области D, то шар будет принадлежать при всех достаточно больших для таких у есть усреднение с ядром

Ясно, что Покажем, что сходятся к в норме (204). Для этого возьмем меньше расстояния до границы D и обозначим через область, полученную присоединением к всех шаров радиуса 8 с центром в . Для и всех достаточно больших и

Поэтому сходятся к при равномерно по вместе со всеми своими производными по у до порядка I [71]. Если же то обе функции равномерно малы вместе со своими производными до порядка ибо для справедливо неравенство (208) при Итак, сходятся к в норме (204), и из (211) следует, что при Теорема доказана.

Можно было бы показать, что функционалы типа функции с гладкими ядрами также плотны в

Определим теперь операцию умножения на функцию а и операцию дифференцирования для элементов

Пусть . Если D — бесконечная область, то считаем, что а и ее производные ограничены. Введем линейный оператор:

который переводит , где . Операцию умножения элемента из на определим как оператор А, сопряженный с А, т. е. определим его равенством

которое должно выполняться для всех

При этом оператор А применим к элементам из и . Если функционал имеет вид (205) с суммируемым по D ядром, то

т. е. функционал также есть функционал типа функции с ядром Рассмотрим теперь оператор дифференцирования

Он является ограниченным оператором из Сопряженный ему оператор В формально также определяется равенством вида (212)

и переводит элементы из Для функционалов , представимых в виде (205) с непрерывно дифференцируемым ядром это равенство показывает, что функционалу соответствует ядро

Посмотрим, как вычисляются операторы А и В от функционала, задаваемого -функцией, т. е. от функционала (206).

Пусть Тогда

Можно ввести и последующие дифференцирования, причем, как легко доказать, результат не зависит от порядка дифференцирования. Таким образом, для элементов из можно определить производные до порядка I и различные дифференциальные операторы. Для этих операторов можно ставить те же задачи, что и для обычных функций; именно задачу Коши и различные краевые задачи. Впервые обобщенные функции были введены С. Л. Соболевым при решении задачи Коши для линейных гиперболических уравнений (1936 г.). Такое расширение класса объектов, оказывается полезным с двух точек зрения: во-первых, может оказаться, что в классе обычных функций задача не имеет решения, а в классе обобщенных функций (функционалов) решение есть. Во-вторых, иногда легче доказать существование «плохого» решения, являющегося обобщенной функцией, а затем уже исследовать вопрос о том, когда эта обобщенная функция будет обычной.

Оба эти обстоятельства отчетливо видны на примере задачи Коши для различных систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами

Применяя преобразование Фурье по эту задачу сводят к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, зависящими от числовых параметров Применение обратного преобразования Фурье позволяет перейти от решения этих обыкновенных дифференциальных уравнений к решениям исходной задачи. Если оставаться в рамках классических преобразований Фурье, то придется ограничиться рассмотрением только убывающих в определенном смысле начальных функций и свободных членов При этом предположении вопрос исследован И. Г. Петровским. Однако в его же работах из дополнительных соображений было показано, что существует класс так называемых гиперболических систем, для которых решение в произвольной точке пространства определяется значениями начальных функций лишь в некоторой ограниченной части пространства зависящей от точки Тем самым было установлено, что задача (215) для гиперболических систем однозначно разрешима при любом поведении при безграничном возрастании

Далее в работах А. Н. Тихонова, О. А. Ладыженской и С. Д. Эйдельмана было показано, что для так называемых параболических систем начальные функции также можно брать не только неубывающими при но даже неограниченно (экспоненционально) растущими. Однако для сохранения теоремы единственности на этот раз надо накладывать определенные ограничения на порядок роста. Наконец, для обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности (т. е. задачи Коши для уравнения решаемой вниз по t) было известно, что она имеет обычное решение лишь при специальных начальных данных.

Все эти факты требовали более внимательного изучения задачи (215) и в связи с этими преобразования Фурье от функций, произвольным образом ведущих себя на бесконечности. Это изучение было начато в работах Л. Шварца и подробно проведено в работах И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова. Преобразование Фурье от функций, растущих на бесконечности, есть, вообще говоря, уже не функция, а функционал в некотором . В классе этих функционалов и приходится в дальнейшем рассматривать задачу Коши для

систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а затем от них переходить к решениям задачи (215), которые в одних случаях оказываются обычными, а в других — обобщенными функциями. Мы не будем приводить здесь результатов всех этих исследований, проведенных И. М. Гельфандом, Г. Е. Шиловым и их учениками, а отошлем читателя к работам И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова по обобщенным функциям и их приложениям.

Здесь же мы отметим некоторые факты, касающиеся решений в функционалах для линейных уравнений второго порядка эллиптического, параболического и гиперболического типов с переменными, но гладкими коэффициентами. Рассмотрим одно из таких уравнений

в котором есть функция, имеющая особенность в точке Оказывается, что для уравнений эллиптического и параболического типов все решения уравнения (216) будут обычными функциями, гладкими всюду, за исключением может быть точки где они могут иметь особенность. Ниже мы покажем на примере оператора Лапласа, что даже если есть дельта-функция, сосредоточенная в точке то и тогда решения уравнения (216) будут обычными функциями, имеющими лишь полярность в точке Если же уравнения (216) возьмем однородными, то все их решения будут обычными функциями.

Не то имеет место в случае гиперболических уравнений. Для них особенность распространяется на целые области, и решение может оказаться не обычной, а обобщенной функцией. Приведем пример этому. Возьмем волновое уравнение их . Одно из его решений определяется формулой Пуассона

Известно, что при трижды непрерывно дифференцируемой функции эта формула дает дважды непрерывно дифференцируемое решение волнового уравнения, удовлетворяющее начальным условиям . Пусть суть трижды непрерывно дифференцируемые неотрицательные функции, стремящиеся при к функции Из формулы видно, что соответствующие им решения будут стремиться к для лежащих в области полупространства Это говорит за то, что решения волнового уравнения, соответствующего начальным условиям и в виде обычной функции не существует. Тем не менее в классе функционалов оно есть и единственно. Аналогично, используя формулу Кирхгофа, можно убедиться, что неоднородное волновое уравнение с правой частью , равной также не имеет решений в классе обычных функций, но имеет их в классе функционалов.

В следующем томе мы предполагаем рассмотреть все эти вопросы более подробно. Как мы упоминали, первыми математическими работами, в которых ставились и решались задачи в классе обобщенных функций, были работы С. Л. Соболева по задаче Коши для уравнений гиперболического типа.

В заключение приведем доказательство утверждений, высказанных выше относительно решений уравнения Лапласа.

Пусть D — ограниченная трехмерная область и расстоячие от переменной точки до точки Считая Гранину D достаточно гладкой и применяя формулу Грина, получим для

или

откуда на основании определения производной от функционала видно, что функционал с ядром удовлетворяет неоднородному уравнению Лапласа:

Тем самым мы показали, что одним из решений уравнения (218) является функционал типа функции. Для нахождения всех решений уравнения (218) достаточно найти все решения в функционалах однородного уравнения Лапласа:

Мы покажем, что все функционалы , удовлетворяющие этому уравнению, представимы через ядра, и эти ядра суть гармонические в D функции. Уравнение (219) эквивалентно следующему:

для любой функции Возьмем в качестве следующую функцию:

где есть неотрицательная бесконечно дифференцируемая функция, равная 1 при , и нулю при Если точка у лежит внутри D, то при достаточно малых Функцию

равную нулю при и при , можно взять в качестве усредняющего ядра, ибо

и

где

Подставив в (220) вместо функцию (221), получим

Согласно обозначению (209) это равенство можно переписать в виде

для у, расстояние которых до границы D больше Рассмотрим совокупность всех из равных нулю вне некоторой области отстоящей от границы D на расстояние S, большее . Для таких имеем

С другой стороны, было доказано, что при . Следовательно, для всех и взятых нами

т. е. функционал задается ядром

Покажем, что есть гармоническая в функция. Действительно, для из (220) следует

и, так как плотно в то для

Так как число о было взято произвольно и так как при для то мы можем утверждать, что семейство гармонических функций определяет гармоническую в D функцию совпадающую с для Эта гармоническая функция и порождает исследуемый нами функционал ибо если мы возьмем произвольную из то она равна нулю вне некоторой области и потому для нее, в силу изложенного, будем иметь

Поведение при приближении к границе D определяется тем, что интеграл (223) должен сходиться для любой функции из

Укажем на одно следствие полученного результата. Положим, что суммируемая в D функция (D — конечная область) и

для любой из

Функционал

удовлетворяет уравнению (219) и, в силу сказанного выше, мы можем утверждать, что эквивалентна гармонической в D функции.

Аналогично предыдущему можно рассматривать линейные функционалы на различных семействах функций. Приведем один пример. Пусть К — семейство вещественных функций определенных во всем пространстве финитных и имеющих непрерывные производные всех порядков. Семейство К есть линейное пространство. Оно не нормируемо в обычном смысле этого слова, и мы введем для этого пространства лишь одно следующее определение:

Определение. Будем говорить, что последовательность функций из К стремится к нулю, если существует такая ограниченная область, вне которой все равны нулю, и если и всякая производная этих функций равномерно стремятся к нулю при

Функционал на К определяется тем, что каждому сопоставляется некоторое вещественное число Такой функционал называется линейным (или линейным и непрерывным), если он дистрибутивен, т. е. и обладает тем свойством, что при стремлении последовательности к нулю и Функционалы типа функции определяются формулой (205), где D есть какая-либо суммируемая в любой ограниченной области функция. Умножение функционала на функцию имеющую непрерывные производные всех порядков, определяется равенством и дифференцирование функционала равенством

Функционал имеет производные всех порядков. Теория функционалов на пространстве К изложена в указанной выше работе И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова.