159. Вспомогательные предложения.

Задачей этого и следующих параграфов является доказательство основной теоремы из [142] и того факта, что если некоторый оператор коммутирует с самосопряженным оператором А, то он коммутирует и с его спектральной функцией при любом X. При изложении этого доказательства мы можем пользоваться теми результатами, которые были получены до Предварительно нам надо изложить некоторые вспомогательные леммы.

Лемма . Если А и В — коммутирующие самосопряженные операторы, удовлетворяющие соотношению

и Р — оператор проектирования в подпространство L, образованное элементами которые удовлетворяют уравнению

то имеют место следующие свойства:

1) если некоторый оператор D коммутирует с , то он коммутирует ;

3) оператор А может быть выражен формулой

1. По условию имеем

Если то, в силу а потому . Если — любой элемент из то и по только что доказанному , а потому можем написать для любого элемента z из , т. е.

Переходя в (318) к сопряженным операторам и принимая во внимание, что А и В — самосопряженные, получим [124]:

т. е. и D коммутирует с , и мы можем и для него написать формулу (319), т. е.

Переходя в этом равенстве к сопряженным операторам и принимая во внимание, что Р — самосопряженный оператор, получим . Сравнивая это равенство с (319), будем иметь т. е. D действительно коммутирует с Р, что мы и хотели доказать. В частности, операторы А и В по условию коммутируют с , а потому А и В коммутируют с Р.

2. Из равенств

и условия (315) следует, что для любого элемента z. Если то и и, следовательно, удовлетворяет уравнению (316), т. е. что мы и хотели доказать.

3. Из того, что А и В коммутируют, и из условия (315) следует, что т. е. если — любой элемент Я, то и следовательно, т. е.

Далее для любого элемента z элемент и, следовательно,

Вычитая из этого равенства предыдущее и принимая во внимание, что А и В коммутируют с Р, получим откуда и следует (317); лемма доказана.

Лемма 2. Если самосопряженный оператор и самосопряженный оператор F коммутируют с , то

Принимая во внимание условие леммы, можем написать, обозначая

что и доказывает лемму. Отметим один частный случай леммы. Если проектор Р коммутирует с С, то, в силу можем утверждать, что .

Если некоторый полином и А — оператор, то, как мы видели, мы можем сопоставить полиному оператор

. Если А — самосопряженный оператор и коэффициенты вещественны, то и — самосопряженный оператор. Для выяснения свойств полиномов от операторов нам понадобятся еще две леммы.

Лемма 3. Если полином положителен в промежутке [0, 1], то для всех достаточно больших значений мы можем представить его в виде

где все коэффициенты положительны.

Для полиномов первой степени это вытекает из формулы

Рассмотрим, положительный полином второй степени, который не разлагается на вещественные множители первой степени:

Принимая во внимание формулу

можем написать предыдущий полином в виде

или, приводя подобные члены,

Выражение, стоящее в квадратных скобках, положительно при всех вещественных s и при всех достаточно больших значениях . Действительно, дискриминант этого трехчлена относительно

в силу положителен при всех достаточно больших р. Таким образом, формула (321) и приводит к формуле (320) с положительными для всех достаточно больших значений . Возьмем теперь любой положительный полином в промежутке Его можно представить в виде произведения положительных полиномов первой степени и положительных полиномов второй степени с мнимыми корнями. Для каждого множителя имеем разложение (320). Тем самым

получим такое же разложение и для их произведения, причем степень будет равна сумме степеней отдельных сомножителей.

Замечание. При помощи замены переменных мы можем свести любой конечный промежуток к промежутку для полиномов, положительных в промежутке получаем, вместо формулы (320), следующую:

Лемма 4. Если — границы самосопряженного оператора А, т. е. квадратичного функционала при неотрицательный в промежутке полином, то -положительный оператор, т. е.

Достаточно доказать лемму в том случае, когда в промежутке . Действительно, положим, что в этом случае лемма доказана и что в промежутке Полагая , где будем иметь в промежутке и, следовательно, по предыдущему:

Переходя к пределу при получим неравенство (323) и для Переходим к доказательству леммы для положительного . В силу (322) при достаточно доказать положительность оператора

причем число мы возьмем нечетным (сумма положительных операторов положительна). Положим, например, что и представим оператор (324) в виде

где

причем коммутирует с есть положительный оператор, ибо при . В силу леммы 2 мы можем утверждать положительность оператора (324). При нечетном s надо взять .

Следствие Если в промежутке полиномы удовлетворяют неравенству то . В частности, если т. е. — то при , и,следовательно, норма не больше

Следствие 2. Из предыдущего следствия вытекает, что если последовательность полиномов стремится равномерно в промежутке к полиному и даже норма разности стремится к нулю.