86. Операторы и функционалы. Принцип сжатых отображений.
Пусть даны два метрических пространства X и 
Соответствие 
относящее элементам 
из X определенные элементы 
из 
называется оператором, действующим из X в X. Оператор может быть определен не во всем X. Множество элементов 
из X, на которых определен оператор А, называется областью определения А и будет обозначаться нами через 
Множество значений 
будем обозначать через 
Это — некоторое множество элементов 
. Если 
есть все 
, то уравнение
имеет при всяком 
из 
по крайней мере одно решение. Полежим, что А устанавливает биоднозначное соответствие между D и R, т. е. что при различных 
из 
получаются согласно (6) различные 
из 
. В этом случае уравнение (6) имеет при всяком 
из 
единственное решение из 
Частным, но весьма важным случаем операторов являются функционалы. Так называются операторы в том случае, когда X есть пространство вещественных чисел при указанном в [85] определении расстояния 
. Иногда берут и пространство всех комплексных чисел при том же определении расстояния.
Приведем один признак однозначной разрешимости уравнения 
для того случая, когда X совпадает с X.
Теорема (принцип сжатых отображений). Если оператор А отображает полное метрическое пространство X в себя, 
и для любых 
и у из X:
где а — число, удовлетворяющее условию 
то уравнение 
имеет одно и только одно решение. Это решение может быть получено как предел последовательности
построенной при любом выборе исходного элемента 
.
В рассматриваемом случае 
. Мы имеем
Применяя эту же оценку к 
и т. д., получим 
откуда следует при 
Принимая во внимание, что 
видим, что 
при 
. В силу полноты 
последовательность 
имеет предел, который мы обозначим 
. Покажем, что 
ибо 
. Переходя в равенстве 
к пределу, получим 
. Остается показать, что решение уравнения 
единственно. Пусть 
есть решение указанного уравнения: 
. Надо доказать, что 
. Имеем 
откуда 
и, следовательно, 
совпадает с 
Теорема доказана.
Замечание. Пусть U — некоторое замкнутое множество из X. Если 
есть 
и выполнено условие 
, то теорема имеет место, причем 
и всякое 
удовлетворяющее уравнению 
совпадает с 
. При этом считается, что 
ибо А определено в 
