105. Сопряженные операторы.

Пусть А — линейный оператор из X в ( — типа В) и какой-либо функционал в

Легко видеть, что будет при этом линейным функционалом в X:

При данном А это равенство приводит в соответствие всякому элементу элемент Можно написать это в виде где оператор А, определенный во всем X с областью значений в называется сопряженным с А. Из дистрибутивности линейных функционалов и оператора А следует дистрибутивность А. Покажем теперь ограниченность а также тот факт, что причем левая часть есть норма оператора в X и правая в X. Мы имеем

откуда Но и, следовательно, .

Пусть далее любой фиксированный элемент X и V — такой элемент . Получаем

откуда что, совместно с и дает Это приводит нас к следующей теореме.

Теорема. Оператор А, сопряженный с линейным оператором А из X в есть линейный оператор из

Замечание. Отметим, что если X совпадает с X, то А есть линейный оператор в X с областью значений также в

Если А и В — линейные операторы из в то из определения сопряженного оператора следует . Если — линейные операторы из в X, то как это следует из равенств . В случае вещественного пространства и для комплексного .