152. Операция умножения на независимую переменную.

Вернемся к результатам из [147] и рассмотрим функциональное пространство функции с интегрируемым квадратом по отношению к функции , определенной формулой (245). Класс есть класс функций определенных на промежутке измеримых по отношению к и таких, что

Пространство является осуществлением пространства Н. В этом пространстве оператор умножения на независимую переменную

является, очевидно, ограниченным самосопряженным оператором, ибо

где — наибольшее из чисел и, в силу вещественности X,

Установим теперь связь между пространством и функциональным пространством . В силу существования интеграла Хеллингера (249) любому элементу у из соответствует такая функция , что [82]

При этом различным элементам у и из соответствуют и различные элементы из Действительно, если бы элементам у и z соответствовали эквивалентные функции то, в силу (289), мы имели бы при любом X. Тем самым разность была бы ортогональной ко всем линейным комбинациям , и, переходя к пределу, мы видим, что разность должна была бы быть ортогональной ко всему подпространству . Но и мы получили бы Наоборот, для двух неэквивалентных функций из интеграл, входящий в формулу (289), не может при всех значениях X иметь одно и то же значение [52]. Таким образом, формула (289) устанавливает биоднозначное соответствие между элементами у из и элементами некоторого линеала М из Докажем, что М совпадает с Сначала покажем, что М — замкнутый линеал. Формулу (256) мы можем переписать, пользуясь интегралами Лебега — Стилтьеса в виде [82]

где — элемент соответствующий элементу z из , т. е.

Пусть последовательность элементов из М и соответствующие элементы из . Полагая в формуле получим

Если стремятся в среднем к некоторому элементу из то при правая часть (292) стремится к нулю, а потому последовательность элементов сходится в себе, и существует такой элемент что причем так как есть подпространство. Пусть и элемент М, соответствующий элементу и согласно формуле (289). Покажем, что элемент и

валентен . Отсюда будет следовать, что , т. е. что М — замкнутый линеал. Из формулы (290) при следует формула

из которой видно, что стремятся в среднем к и , а потому функция и эквивалентна ибо предел в среднем единственен. Покажем теперь, что замкнутый линеал М совпадает с Если бы это было не так, то существовал бы элемент из не эквивалентный нулевому элементу и ортогональный ко всем элементам из М. Для элемента формула (289), в силу при при принимает вид

т. е. функция из М, соответствующая эквивалентна функции, определяемой формулой

Значение при не существенно ввиду непрерывности Ортогональность к только что определенной функции дает нам при любом

а отсюда, как известно [52], следует, что эквивалентна нулю относительно и, таким образом, подпространство М должно совпадать с Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме:

Теорема 1. Формула (289) устанавливает биоднозначное соответствие между элементами у из и элементами из

В силу формулы (290) при этом соответствии сохраняется величина скалярного произведения, а следовательно, и нормы соответствующих элементов одинаковы. Кроме того, соответствие, очевидно, дистрибутивно в силу дистрибутивности скалярного произведения относительно у и дистрибутивности интеграла, входящего в формулу (289). Таким образом, при указанном соответствии функциональное пространство является

осуществлением гильбертова пространства . В этом пространстве определен оператор А, для которого является спектральной функцией. Докажем следующую теорему:

Теорема 2. Замене у на соответствует умножение на т. е. оператору А в соответствует оператор умножения на независимую переменную (288) в

Пользуясь формулами (206) и (289) и свойством интеграла Лебега—Стилтьеса из [75], можем написать, считая, что

т. е.

откуда и следует, путем сравнения с формулой (289), что замене у на соответствует умножение на Отметим еще, что общая формула (259) для билинейного функционала , где у и может быть написана, в силу (290) и доказанной теоремы, при помощи интеграла Лебега — Стилтьеса так: