46. Кусочно-постоянные функции.

Мы определим сейчас некоторый класс функций, которым часто пользуются в теоретических исследованиях.

Определение. Функция определенная на измеримом множестве , называется кусочно-постоянной на этом множестве, если она принимает на g лишь конечное или счетное множество значений.

Пусть различные значения, принимаемые функцией на g, причем среди этих значений могут быть значения

. Для измеримости очевидно, необходимо и достаточно, чтобы множества точек на которых равно были при всех k измеримыми [42]. В дальнейшем мы будем рассматривать только измеримые кусочно-постоянные функции.

Введем новое понятие. Если g — некоторое множество точек, то характеристической функцией этого множества назовем такую функцию определенную на всей плоскости, что если Р принадлежит если Р не принадлежит §. Кусочно-постоянная функция есть линейная комбинация характеристических функций:

причем Р принадлежит . Поскольку не имеют общих точек различные числа) в написанной сумме только одно слагаемое отлично от нуля, кроме случая, когда соответствующее выбранной точке равно нулю. В последнем случае все слагаемые равны нулю.

Характеристическая функция измерима, очевидно, в том и только в том случае, если — измеримое множество.

Мы покажем сейчас возможность получения измеримых функций как пределов кусочно-постоянных функций. Мы ограничимся при этом случаем неотрицательных функций.

Теорема 1. Для всякой неотрицательной ограниченной и измеримой на измеримом множестве функции существует возрастающая последовательность неотрицательных измеримых кусочно-постоянных на функций с конечным числом значений, которая равномерно на стремится к в каждой точке .

В силу ограниченности имеется такое положительное число L, что Промежуток делим на равных частей точками

Введем в рассмотрение измеримые множества

и построим последовательность функций следующим образом:

Нетрудно проверить, что последовательность удовлетворяет всем требованиям теоремы. Каждая из функций принимает на конечное число значений. Далее при переходе от к каждый промежуток

разобьется на два:

и

и тем самым каждое из множеств разобьется на два множества:

На множестве функция равна тому же числу , что и функция на всем множестве , а на множестве функция равна

и, следовательно, последовательность функций есть возрастающая последовательность. Далее, на любом множестве имеем

и

Тем самым

во всех точках , принадлежащих g, откуда и следует, что последовательность стремится к равномерно на g. В следующей теореме мы рассмотрим тот случай, когда может быть неограниченной.

Теорема 2. Для всякой неотрицательной, принимающей конечные значения и измеримой на множестве g, функции существует возрастающая последовательность неотрицательных кусочно-постоянных на g функций, которая равномерно на g стремится к

В данном случае делим на части бесконечный промежуток при помощи точек

Определяем опять множества и функции

Совершенно так же, как и в предыдущей теореме, можно показать, что последовательность удовлетворяет всем требованиям теоремы. В случае неограниченности функции функции будут принимать счетное число значений. Если отказаться от равномерности приближения, то можно ограничиться кусочно-постоянными функциями с конечным числом значений. Кроме того, в следующей теореме мы будем считать и возможным значением функции .

Теорема 3. Для всякой неотрицательной измеримой на измеримом множестве функции существует возрастающая последовательность неотрицательных кусочно-постоянных на g функций с конечным числом конечных значений, которая стремится к в каждой точке .

Кроме множеств предыдущей теоремы, построим еще множество и введем последовательность функций следующим образом:

и если или . Нетрудно видеть, что функции удовлетворяют всем требованиям теоремы. В дальнейшем нам придется пользоваться упомянутыми теоремами.