26. Интеграл Фурье—Стилтьеса.

Рассмотрим функцию, представимую интегралом Фурье—Стилтьеса,

где неубывающая ограниченная функция, непрерывная прих , т. е.

Интеграл (131), очевидно, существует, поскольку функция непрерывна и ограничена [4]. Выясним простейшие свойства функции . Мы имеем

или — ограниченная функция. Из формулы (131) непосредственно следует также тождество

Покажем еще, что функция равномерно непрерывна в промежутке Оценим абсолютное значение разности :

Сперва фиксируем настолько большим, чтобы иметь

Далее фиксируем такое не зависящее от t, чтобы на промежутке имело место неравенство

При этом, в силу (133), получим

откуда, ввиду произвольности e и независимости от t, и следует равномерная непрерывность Выясним еще одно свойство функции . Возьмем какие-нибудь вещественных чисел и составим форму Эрмита:

переменных Принимая во внимание (131), можем написать

и для формы Эрмита (134) имеем следующее выражение:

откуда непосредственно следует, что при любом и любом выборе значений t форма Эрмита (134) неотрицательная, т. е.

Введём новое понятие. Функция называется положительно определенной, если она непрерывна и ограничена в промежутке удовлетворяет тождеству (132) и если, кроме того, форма Эрмита (134) при любом и любом выборе точек неотрицательна. Из предыдущих рассуждений следует, что если функция представима интегралом Фурье—Стилтьеса (131) с функцией указанного типа, то она положительно определенна. Можно показать, что и наоборот: всякая положи те льно определенная функция представима интегралом (131) с функцией указанного типа. (Bochner, Vorlesungen iiber Fouriersche Integrate, стр. 74, или Math. Annal. Bd. 108). Вернемся к интегралу (131) и представим функцию в виде суммы где функция скачков и непрерывная часть функции Функция при этом представится в виде суммы где

Пусть абсциссы точек разрыва причем, очевидно, и ряд, составленный из сходится.

Мы имеем разложение в равномерно сходящийся ряд:

Если число точек конечно, то и написанная сумма будет конечной.

Введем так называемое среднее значение какой-либо непрерывной функции определенной на промежутке

если предел, стоящий справа, существует. Нетрудно показать, что для определенной формулой (136) с непрерывной функцией мы имеем

Действительно, производя интегрирование под знаком интеграла, получим

Разобьем промежуток интегрирования на три части: Производя элементарную оценку интегралов, получим

Пусть е — заданное положительное число. Мы можем, в силу непрерывности при выбрать настолько малым, чтобы иметь:

При фиксированном первые два слагаемых правой части стремятся к нулю при и, следовательно, при всех достаточно больших мы будем иметь

откуда, ввиду произвольности , и следует (139). Возможность интегрирования по t под знаком интеграла Стилтьеса может быть легко оправдана. Рассмотрим теперь функцию которую мы можем записать в виде

или, пользуясь заменой переменной интегрирования,

и, в силу непрерывности функций при любом вещественном X будем иметь

Далее, пользуясь равномерной сходимостью ряда (137) в промежутке а также тем, что

получим

и

если не совпадает ни с одним из . Предыдущие рассуждения приводят нас к следующему общему результату: если представима интегралом (131) с неубывающей ограниченной функцией и правая часть равна нулю, если X не есть точка разрыва . Среднее значение произведения представляет собой обобщение понятия коэффициента Фурье для периодической функции. Мы вернемся еще к обобщенным коэффициентам Фурье в связи с обобщением формулы замкнутости [29]. В следующем параграфе мы выведем формулу обращения интеграла (131), т. е. формулу, выражающую через