55. Класс L2.

Мы рассмотрим в настоящем параграфе некоторый класс измеримых функций. Этот класс играет большую роль в приложениях построенной теории к различным вопросам математики и математической физики.

Определение. Вещественная функция измеримая на измеримом множестве конечной меры, называется функцией с суммируемым квадратом на , если ее квадрат суммируем на , т. е. если

Класс функций с суммируемым квадратом на обозначим символом 1. Для случая интеграла Лебега, т. е. для того случая, когда есть площадь промежутка А, пользуются символом . В дальнейшем для простоты письма будем вместо писать просто . Но надо помнить, что все сказанное дальше будет справедливо и при любом выборе . Докажем ряд свойств класса .

Теорема 1. Если то и произведение суммируемо на

Утверждения теоремы непосредственно вытекают из неравенств

и свойств 1 и 10 из [52]. Отметим, что здесь и во всем дальнейшем мы подразумеваем вещественные функции.

Теорема 2. Если то также принадлежат

Утверждение относительно очевидно, а для оно вытекает из формулы

георемы 1 и свойства 1 из [52].

Теорема 3. Если то имеет место неравенство (Буняковского—Шварца):

Доказательство точно такое же, что и для интеграла Римана. Повторим его. Заметим прежде всего, что если в квадратном трехчлене коэффициенты вещественны и , то из тождества

непосредственно следует, что если указанный трехчлен при всех вещественных значениях и имеет неотрицательные значения, то . Мы считаем, что функции и g не эквивалентны нулю, ибо в противном случае неравенство (67) тривиально, ибо его левая часть при этом равна нулю. Напишем очевидную формулу

где — некоторый параметр. Стоящий слева интеграл имеет для любого вещественного и неотрицательное значение. Следовательно, и трехчлен, стоящий справа, также обладает этим свойством. Для этого трехчлена мы должны иметь что и приводит нас к неравенству (67). Отметим, что коэффициент а в указанном трехчлене наверное положителен, так как функция не эквивалентна нулю.

Следствие. Если то очевидно и и, представляя в виде произведения мы получим следующее неравенство:

Теорема 4. Если то имеет место неравенство

Из неравенства (67) получаем

Умножаем обе части этого неравенства на 2 и прибавляем к обеим частям полученного неравенства интеграл от и интеграл от .

Полученное неравенство

может быть записано в виде

что и приводит нас непосредственно к неравенству (69).

Отметим еще, что если то, в силу суммируемости функция почти везде на принимает конечные значения.