ГЛАВА III. ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА

72. Аддитивные функции множеств.

Пусть функция точки измерима относительно неотрицательной, аддитивной и нормальной функции. Составим неопределённый интеграл

Он определён для всех тех множеств , принадлежащих замкнутому телу на которых суммируема. При этом, если суммируема на , то она суммируема и на любой измеримой части множества , и если разбито на конечное или счётное число множеств попарно без общих точек, то равно сумме (полная аддитивность). Мы изучим сейчас свойства вполне аддитивных функций, заданных не в форме неопределённого интеграла, а любым образом. Итак, пусть принимает конечные вещественные значения для множеств, принадлежащих некоторому семейству С множеств из некоторого замкнутого тела множеств содержащего все замкнутые и открытые множества. При этом мы считаем, что если принадлежите, то и всякая часть , принадлежащая Т, также принадлежит С. Кроме того, считаем вполне аддитивной, т. е. если , принадлежащее С, разбито на множества попарно без общих точек, число которых конечно или счетно, причём все из и тем самым из С

то

При бесконечном числе слагаемых написанный ряд должен сходиться абсолютно. В случае формулы (1) замкнутым телом Т служит тело и семейство С состоит из тех множеств из на которых суммируема. Наиболее важным в дальнейшем будет тот случай, когда С состоит из некоторого принадлежащего

и тех множеств из которые принадлежат При этом само С есть, очевидно, замкнутое тело.

Отметим, что если определена для множеств из принадлежащих, например, некоторому замкнутому промежутку А, то она может быть определена для всех множеств из Т по формуле

При этом она будет принимать конечные значения и будет вполне аддитивной на всем теле Т. В дальнейшем, когда мы будем говорить о то будем, конечно, считать, что . В силу аддитивности мы должны иметь если — пустое множество. Из аддитивности непосредственно следует, что если принадлежат С и то

Далее из полной аддитивности следует, что если монотонная последовательность множеств из С и если предельное множество также принадлежит С, то . В случае неубывающей последовательности множеств мы имеем в силу полной аддитивности, случае невозрастающей последовательности доказательство аналогично, причем обязательно принадлежит С. Отметим еще, что конечная линейная комбинация вполне аддитивных функций есть, очевидно, также вполне аддитивная функция. Переходим к доказательству основных теорем теории:

Теорема 1. Значения для всех множеств , принадлежащих любому множеству из С, ограничены по абсолютной величине одним и тем же числом.

Доказываем от обратного. Если это не так, то существует такое что При этом надо принять во внимание, что

и что неограниченность одного из слагаемых влечет неограниченность второго слагаемого, ибо есть заданное число. Для или теорема невыполнена. Можем считать, что она не выполнена для и существует такое си что и т. д. Мы имеем: и, обозначая в силу сказанного выше, что нелепо, ибо беспредельно растут по абсолютной величине, и теорема доказана.

Пусть — некоторое разбиение на конечное число Составим сумму

и покажем, что множество значений для любых ограничено. Пусть сумма тех , для которых сумма тех

, для которых . Принимая во внимание аддитивность можем написать

Принимая еще во внимание, что и следовательно, можем переписать (7) в виде

Обозначим через точную верхнюю и точную нижнюю границу значений если причем пустое множество также считается принадлежащим

В силу теоремы 1, можем утержаагь, что конечны. Из первой из формул (8) следует, что t, при любом выборе S ограничена: Точная верхняя граница сумм при всевозможных разбиениях называегея полной вариацией на множестве . Мы её обозначим через Если есть такая последовательность подразделений, что стремится к , то из первой из формул (8) следует, что при этом и стремится к а вторая из формул (8), которую можно переписать в виде

показывает, что так что в пределе формула (8) при замене b на даёт

откуда

Из определения следует, что Функции называются обычно положительной и отрицательной вариациями на

Теорема 2. Положительная, отрицательная и полная вариации суть вполне аддитивные на С функции.

Пусть имеется любое разбиение на части Составим ряд с неотрицательными членами

и докажем, что . Прежде всего покажем, что . Действительно, если бы оказалось, что то при соответствующем выборе сумма

могла бы принимать сколь угодно большие значения.

Но эта сумма равна , где

мы пришли к противоречию с утверждением теоремы 1. Пусть задано При подходящем выборе получим в и, следовательно, и подавно в, откуда, в виду произвольности в, имеем . Докажем противоположное неравенство. Выбираем так что , пусть Мы имеем

откуда и подавно

и, ввиду произвольности , имеем и окончательно

Аналогично полную аддитивность имеет и отрицательная вариация, а следовательно, в силу (10), и полная вариация. Формула (11) показывает, что всякая вполне аддитивная функция есть разность вполне аддитивных неотрицательных функций. Отметим еще, если бы мы при составлении сумм (6) пользовались разбиениями на бесконечное число множеств, то получили бы, прежнюю точную верхнюю границу.

Любая точка (замкнутое множество) принадлежит . Если то любая точка Р из принадлежит С, и мы можем говорить о значении функции в точке Р. Если точка Р называется точкой разрыва непрерывности . В противном случае точкой непрерывности Если , то из данных выше определений следует, что , а если , то . Точки непрерывности суть также точки непрерывности . В силу конечности число точек разрыва, принадлежащих , и таких, что или а, где а — заданное положительное число,

конечно, и число всех точек разрыва конечно или счетно. Пусть эти точки. Если множество точек счетно, то ряд, составленный из абсолютно сходится. Введем новую функцию множеств, определенную на семействе С:

где суммирование распространяется на точки из . Эта функция также вполне аддитивна. Она называется функцией скачков. Разность

есть вполне аддитивная функция без точек разрыва непрерывности.