43. Свойства измеримых функций.

Выясним некоторые дальнейшие свойства измеримых функций.

Теорема 1. Если измеримая функция, то и измеримая функция.

Утверждение теоремы непосредственно следует из формулы

Теорема 2. Если измеримая функция и с — конечная постоянная, отличная от нуля, то измеримые функции.

Первое утверждение непосредственно вытекает из формулы

а второе из формул

Теорема 3. Если измеримые функции, то множество измеримо.

Пронумеруем все рациональные числа: . Измеримость упомянутого в теореме множества непосредственно вытекает из формулы

Теорема 4. Если измеримые функции, принимающие конечные значения, то функции и измеримы.

Измеримость разности непосредственно следует из формулы

и теорем 2 и 3. Измеримость суммы следует из формулы и теоремы 2 при Измеримость квадрата измеримой функции непосредственно следует из формулы

а измеримость произведения из формулы

Докажем измеримость функции при условии, что g не принимает значения 0. Это непосредственно следует из следующих формул:

Наконец, из формулы следует измеримость частного.

В приведенной теореме необходимо было сделать оговорку о том, что функции принимают во всех точках конечные значения. В противном случае действия над этими функциями могли бы потерять смысл. Если, например, в некоторой точке и , то в этой точке мы ничего не можем сказать о сумме . Если указанной неопределенности при производстве действия над нет, то можно допустить и бесконечные значения для Докажем в качестве примера следующую теорему:

Теорема 5. Если измеримые функции, принимающие конечные значения и значение то функция измерима.

Пусть А — множество, на котором по крайней мере одна из функций равна . Это множество измеримо в силу измеримости и g, и на множестве А сумма имеет постоянное значение и, следовательно, измерима. На множестве и функции и g имеют конечные значения, и, в силу теоремы 4, сумма измерима и на . Поэтому она измерима и на что и требовалось доказать.