218. Существование спектральной функции.

Мы переходим теперь к доказательству основной теоремы из [192], согласно которой для всякого самосопряжённого оператора А существует разложение единицы с помощью которого он выражается интегралом Стилтьеса (58) из [192]. Мы можем пользоваться при этом теми свойствами А, которые выводились без помощи формулы (58). В [189] мы без помощи этой формулы показали, что при любом невещественном X существует ограниченный оператор определённый во всем так что формула и преобразует D(А) биоднозначно в Н. Рассмотрим случай и положим:

и

Мы имеем, в силу самосопряжённости А:

Введя ограниченные самосопряжённые операторы

мы получим:

причём при любом выборе элементы принадлежат Из (204) следует:

откуда

Если элемент принадлежит D(А), то мы можем написать также:

откуда, раскрывая скобки и сравнивая с написанным выше, получим:

т. е. ограниченные операторы В и С коммутируют с A в смысле определения из [191].

Из формул следует, что

т. е. В и С коммутируют между собой. Пользуясь (205) и (206), получим т. е. В есть положительный оператор. Далее из формул

следует, что т. е. нормы операторов не превышают единицы, а потому, в силу (203), то же можно утверждать о В и С. Покажем ещё, что из следует Действительно, если то или откуда следует, что . После згого формула (205) даёт: . Кроме указанных выше свойств операторов В и С, нам понадобится ещё одна лемма, доказательство которой мы приведём ниже.

Лемма. Пусть попарно ортогональные подпространства, ортогональная сумма которых даёт всё Н. Пусть далее в каждом определён самосопряжённый ограниченный оператор При этом существует единственный самосопряжённый в Н оператор А, совпадающий с Линеал D(А) состоит из тех элементов для которых ряд, составляемый из сходится, причём через мы обозначили проекцию и для указанных мы имеем:

Вернёмся к операторам В и С. Спектр В лежит на отрезке [0, I], и, поскольку из следует точка не принадлежит точечному спектру, так что, если мы через обозначим спектральную функцию оператора В, то Обозначая через то подпространство, в которое проектирует оператор мы можем утверждать, что попарно ортогональны и что их ортогональная сумма равна Н. Если ограниченный самосопряжённый оператор F коммутирует с то, в силу теоремы из приводит F. Это будет иметь место для С и любой вещественной непрерывной функции от В [193]. Мы положим при и равной постоянной вне указанного промежутка, с сохранением непрерывности на концах, и введём самосопряжённый ограниченный оператор Если то . При . При непосредственно следует из формулы

и того, что при . Если мы выразим интегралами Стилтьеса через и воспользуемся определением и только что сказанным относительно то получим, что т. е. В и обратны в Если то мы можем написать откуда видно, что из следует

Пользуясь (206), можно написать: , откуда видно, что А — ограниченный в оператор. Принимая ещё во внимание, что С и коммутируют и что приводит С и можем утверждать, что А есть ограниченный и самосопряжённый в оператор. Обозначим через разложение единицы, соответствующее этому оператору в На основании леммы мы можем составить самосопряжённый в Н оператор

и нетрудно проверить, что будет разложением единицы в Н. Если мы составим интеграл Стилтьеса, который определяет некоторый самосопряжённый оператор,

то, принимая во внимание, что если видим, что он даёт А, если и тем самым, в силу леммы, он определяет оператор А. Остаётся доказать формулированную выше лемму.

Пусть принадлежит линеалу D(А) тех элементов, для которых

определим оператор А формулой Покажем, что А — самосопряжённый оператор. Линеалу D(A) принадлежат, очевидно, конечные суммы элементов и потому линеал плотен в Н. Симметричность А вытекает из самосопряжённости и формулы

где и мы использовали непрерывность и дистрибутивность скалярного произведения, а также ортогональность подпространств Таким образом , и нам надо доказать, что если то Принимая во внимание, что принадлежит и что можем написать:

откуда при в силу теоремы Пифагора,

Совершенно так же можем написать:

т. е.

и вообще

откуда следует:

а потому самосопряжённость А доказана. Остаётся доказать, что существует единственный самосопряжённый оператор, совпадающий с на Пусть, кроме построенного А, существует ещё оператор А. Из самосопряжённости А вытекает, что он замкнут. Для конечных сумм

ибо А и А совпадают на Принимая во внимание замкнутость А, можем, утверждать, что А определён на D(А) и совпадает на этом линеале с А, т. е. . С другой стороны, заменяя в приведённом выше доказательстве А на , придём к заключению, что если то и, следовательно, совпадает с А: лемма доказана.