175. Спектральная функция.

Обозначим буквой К оператор (93), считая его вполне непрерывным и самосопряженным. Укажем для него построение спектральной функции и резольвенты .

Вместо мы введем другую функцию для того, чтобы иметь возможность представить ее в виде интегрального оператора, а именно мы положим

Принимая во внимание, что спектр чисто точечный, мы можем утверждать, что есть оператор проектирования в подпространство тех собственных функций для которых Проекция функции на одномерное подпространство собственной функции представляет собой произве дение где а — коэффициент Фурье

Таким образом, оператор проектирования на указанное одномерное подпространство есть интегральный оператор с ядром и можем написать

суммирование распространяется на те значения для которых и написанная сумма содержит конечное число слагаемых в силу свойства спектра вполне непрерывного оператора. Таким образом, оператор при есть интегральный оператор с ядром

Принимая во внимание формулу (112) и сказанное выше относительно можем утверждать, что при есть интегральный оператор ядром

где сумма также содержит конечное число слагаемых. Когда X проходит через собственное значение, то ядро меняется скачком. Из формулы (112) непосредственно следует, что при при что может быть записано в виде

Функция является, очевидно, решением уравнения (109) при причем предполагается, что и не совпадает ни с одним из ХЛ. Можно дать другую формулу для резольвенты, исходя из формулы

где интегрирование фактически происходит но конечному промежутку, содержащему спектр оператора.

Пусть не есть собственное значение. Заменяя на согласно (112) и учитывая дополнительный скачок равный при переходе можем написать предыдущую формулу в виде