122. Проекция.

В дальнейшем существенную роль будут играть понятия линеала и подпространства [95].

Множество элементов, принадлежащих любому фиксированному подпространству L, удовлетворяет всем перечисленным выше аксиомам, кроме, может быть, аксиомы В, ибо подпространство L может быть и конечномерным. Таким образом, всякое бесконечномерное подпространство можно рассматривать как самостоятельное комплексное гильбертово пространство. Сказанное выше совершенно очевидно по отношению ко всем аксиомам, кроме аксиомы сепарабельности. По отношению к этой аксиоме надо доказать следующее утверждение: если и сепарабельно, то и всякое его подпространство L представляет собой сепарабельное гильбертово пространство. Доказательство этого утверждения не представляет никакого труда [94].

Два подпространства называются взаимно ортогональными, если любой элемент из L ортогонален любому элементу из М. Пишут при этом . Элемент х называется ортогональным подпространству L, если х ортогонален любому элементу из L. Пишут Докажем теперь теорему, имеющую основное значение для всего дальнейшего.

Теорема. Если L — подпространство, то любой элемент из Н может быть представлен в виде

где . Указанное представление (22) единственно.

Если то мы получим представление (22), положив Положим теперь, что не принадлежит L. Пусть d — точная нижняя граница множества положительных чисел когда у пробегает подпространство

Существует такая последовательность элементов принадлежащих L, что

Пусть и — любой элемент из L. В силу того, что L есть подпространство, элементы для любого вещественного (и даже комплексного ) принадлежат и, принимая во внимание (23), мы

можем написать Раскрывая написанное скалярное произведение, получим неравенство

Трехчлен, стоящий слева, для любых вещественных неотрицателен, и потому мы должны иметь

Усилим это неравенство. Пусть аргумент комплексного числа Заменим в (25) элемент и элементом также принадлежащим L. Принимая во внимание, что

мы из неравенства (25) получим более точное неравенство

Напомним, что в этом неравенстве, заданный элемент из — последовательность элементов из L, удовлетворяющая условию (24), и и — любой элемент из L. Оценим теперь модуль скалярного произведения Представляя разность в виде и пользуясь неравенством (26), получим

Полагая в этом неравенстве и сокращая обе части на мы придем к неравенству

Отметим, что если , то это неравенство очевидно. При беспредельном возрастании тип правая его часть, в силу (23), стремится к нулю, и, следовательно, последовательность элементов сходится в себе. В силу аксиомы полноты, существует такой элементу, что и, так как L есть подпространство, то . С другой стороны, переходя к пределу в неравенстве (26), мы получаем для любого элемента и, принадлежащего т. е. разность ортогональна к L. Обозначая эту разность через , мы и получаем формулу (22), в которой . Остается доказать единственность полученного представления (22). Пусть имеются два представления

где . Мы имеем, очевидно, . Левая часть этого равенства представляет собой элемент, принадлежаший

U а правая — элемент, ортогональный L. Отсюда следует, что , а потому и, следовательно, . Теорема доказана полпостыо.

Элемент у, входящий в формулу (22) и принадлежащий L, называется проекцией элемента в подпространство L. Множество элементов, ортогональных к подпространству L, образует, очевидно, некоторое подпространство. Обозначим его буквой М. В силу доказанной теоремы каждый элемент из L может быть единственным образом представлен в виде суммы двух элементов, из которых один принадлежит L, а другой М. Множество элементов, ортогональных к образует подпространство L. В этом отношении связь между подпространствами L и М взаимна, и такие два подпространства называются взаимно дополнительными подпространствами. В случае вещественного трехмерного пространства взаимно дополнительными пространствами будут, например, множества векторов, образующих плоскость XY и ось Z.

Обычно пишут в указанном выше случае

или

так что есть подпространство элементов Н, ортогональных к подпространству М.