122. Проекция.
В дальнейшем существенную роль будут играть понятия линеала и подпространства [95].
Множество элементов, принадлежащих любому фиксированному подпространству L, удовлетворяет всем перечисленным выше аксиомам, кроме, может быть, аксиомы В, ибо подпространство L может быть и конечномерным. Таким образом, всякое бесконечномерное подпространство можно рассматривать как самостоятельное комплексное гильбертово пространство. Сказанное выше совершенно очевидно по отношению ко всем аксиомам, кроме аксиомы сепарабельности. По отношению к этой аксиоме надо доказать следующее утверждение: если и сепарабельно, то и всякое его подпространство L представляет собой сепарабельное гильбертово пространство. Доказательство этого утверждения не представляет никакого труда [94].
Два подпространства 
называются взаимно ортогональными, если любой элемент из L ортогонален любому элементу из М. Пишут при этом 
. Элемент х называется ортогональным подпространству L, если х ортогонален любому элементу из L. Пишут 
Докажем теперь теорему, имеющую основное значение для всего дальнейшего.
Теорема. Если L — подпространство, то любой элемент 
из Н может быть представлен в виде
где 
. Указанное представление (22) единственно.
Если 
то мы получим представление (22), положив 
Положим теперь, что 
не принадлежит L. Пусть d — точная нижняя граница множества положительных чисел 
когда у пробегает подпространство 
Существует такая последовательность элементов 
принадлежащих L, что
Пусть и — любой элемент из L. В силу того, что L есть подпространство, элементы 
для любого вещественного 
(и даже комплексного 
) принадлежат 
и, принимая во внимание (23), мы
можем написать 
Раскрывая написанное скалярное произведение, получим неравенство
Трехчлен, стоящий слева, для любых вещественных 
неотрицателен, и потому мы должны иметь
Усилим это неравенство. Пусть 
аргумент комплексного числа 
Заменим в (25) элемент и элементом 
также принадлежащим L. Принимая во внимание, что 
мы из неравенства (25) получим более точное неравенство
Напомним, что в этом неравенстве, 
заданный элемент из 
— последовательность элементов из L, удовлетворяющая условию (24), и и — любой элемент из L. Оценим теперь модуль скалярного произведения 
Представляя разность 
в виде 
и пользуясь неравенством (26), получим
Полагая в этом неравенстве 
и сокращая обе части на 
мы придем к неравенству
Отметим, что если 
, то это неравенство очевидно. При беспредельном возрастании тип правая его часть, в силу (23), стремится к нулю, и, следовательно, последовательность элементов 
сходится в себе. В силу аксиомы полноты, существует такой элементу, что 
и, так как L есть подпространство, то 
. С другой стороны, переходя к пределу в неравенстве (26), мы получаем для любого элемента и, принадлежащего 
т. е. разность 
ортогональна к L. Обозначая эту разность через 
, мы и получаем формулу (22), в которой 
. Остается доказать единственность полученного представления (22). Пусть имеются два представления
где 
. Мы имеем, очевидно, 
. Левая часть этого равенства представляет собой элемент, принадлежаший
U а правая — элемент, ортогональный L. Отсюда следует, что 
, а потому 
и, следовательно, 
. Теорема доказана полпостыо.
Элемент у, входящий в формулу (22) и принадлежащий L, называется проекцией элемента 
в подпространство L. Множество элементов, ортогональных к подпространству L, образует, очевидно, некоторое подпространство. Обозначим его буквой М. В силу доказанной теоремы каждый элемент 
из L может быть единственным образом представлен в виде суммы двух элементов, из которых один принадлежит L, а другой М. Множество элементов, ортогональных к 
образует подпространство L. В этом отношении связь между подпространствами L и М взаимна, и такие два подпространства называются взаимно дополнительными подпространствами. В случае вещественного трехмерного пространства взаимно дополнительными пространствами будут, например, множества векторов, образующих плоскость XY и ось Z.
Обычно пишут в указанном выше случае
или
так что 
есть подпространство элементов Н, ортогональных к подпространству М.
