20. Существование общего интеграла Стилтьеса.

Мы укажем ниже некоторые достаточные условия существования общего интеграла Стилтьеса.

Теорема. Любая ограниченная функция интегрируема по функции скачков в смысле общего интеграла Стилтьеса.

Положим сначала, что множество си точек разрыва непрерывности конечно, и пусть S — подразделение основного промежутка, определяемое следующим образом: концы промежутка, если они принадлежат области интегрирования, и точки являются самостоятельными элементами , а остальными элементами В являются те открытые промежутки, которые получились после выделения указанных точек. На каждом из этих промежутков сохраняет постоянное значение, и суммы соответствующие интегралу от по очевидно, одинаковы и выражаются формулой

Таким образом, интеграл от по существует и выражается суммой (111). Положим теперь, что множество точек разрыва функции бесконечно. Пусть подразделение основного промежутка на части, произведенное так же, как и выше, причем в качестве самостоятельных элементов подразделений выделяются концы промежутков и первые точек разрыва: . Для построенной последовательности подразделений образуем суммы . Сумма тех слагаемых, входящих в которые происходят от выделенных точек, как самостоятельных элементов подразделения, равна

и не зависит от переменных точек Рассмотрим один из открытых интервалов входящих в подразделение Соответствующее ему слагаемое суммы будет иметь вид

Если , то мы имеем

причем разность представляет собой сумму скачков внутри промежутка . Таким образом, сумма слагаемых, входящих в и соответствующих открытым промежуткам подразделения будет по абсолютной

ной величине не больше, чем произведение L на сумму всех скачков функции кроме скачков в выделенных точках си . Эта сумма при беспредельном возрастании стремится к нулю, а сумма, соответствующая выделенным точкам подразделения, при возрастании дает в пределе сумму сходящегося ряда

и, следовательно, интеграл от по существует и выражается рядом (112), что и требовалось доказать.

Таким образом, вопрос о существовании общего интеграла Стилтьеса свелся к вопросу о существовании интеграла от по непрерывной неубывающей функции Для этой последней функции регулярной последовательностью будет любая последовательность с бесконечно измельчающимися частичными промежутками. Если монотонная функция на промежутке , то, в силу формулы интегрирования по частям [2], она интегрируема на по Таким образом, всякая монотонная функция интегрируема по любой возрастающей ограниченной функции.

Укажем еще класс функций, интегрируемых по любой возрастающей ограниченной функции Назовем функцию кусочно-постоянной на , если этот промежуток можно разбить на конечное число промежутков попарно без общих точек так, что на каждом промежутке сохраняет постоянное значение. Обозначим его буквой Нетрудно видеть, что кусочно-постоянная функция интегрируема по любой возрастающей функции Действительно, если есть подразделение Д на части , то суммы и одинаковы:

Повторяя это подразделение мы и убедимся в том, что интеграл от кусочно-постоянной функции по существует и выражается суммой (113). Применяя свойство V из [19], видим, что если функция на промежутке Д есть предел равномерно сходящейся последовательности кусочно-постоянных функций, то интегрируема по любой возрастающей ограниченной функции g (а).

Отметим еще, что необходимое и достаточное условие интегрируемости по то же, что было указано в [10]. На доказательстве этого мы не останавливаемся.

Замечание 1. Мы определили выше [8] функцию ограниченной вариации на замкнутом промежутке Совершенно аналогично можно ввести это понятие и на промежутках другого типа. Возьмем, например, открытый промежуток Назовем функцию функцией ограниченной вариации на если она ограниченной вариации на любом замкнутом промежутке лежащем внутри для любых таких промежутков не больше некоторого числа. При уменьшении с величина не убывает и, следовательно, при стремлении имеет конечный предел, который мы обозначим При стремлении а к b эта величина будет также иметь конечный предел, который называется полной вариацией на Формулы (44) определят функции которые входят i каноническое представление в виде разности неубывающих ограниченных функций Общий интеграл Стилтьеса определится затем в виде

разности интегралов по неубывающим функциям

и существование интеграла от по обусловливается существованием интегралов от по .

Принимая во внимание сказанное выше, мы можем утверждать, что в смысле общего интеграла Стилтьеса функция ограниченной вариации и функция, которая является пределом равномерно сходящейся последовательности кусочно-постоянных функций, интегрируемы по любой функции ограниченной вариации.

Замечание 2. При интегрировании по полуоткрытым промежуткам иногда вводят еще одно понятие интеграла, которое отличается от общего интеграла Стилтьеса только тем, что основной промежуток разбивается не на промежутки любого типа, но лишь на полуоткрытые промежутки тина без общих точек. Поскольку при этом множества чисел могут оказаться лишь частью множеств этих же чисел для общего интеграла, то число может уменьшиться, а число увеличиться. поведет к тому, что если для общего интеграла мы имели то при новом построении интеграла можем получить i с т. е. функция, интегрируемая в смысле общего интеграла, может оказаться неинтегрируемой при новом определении интеграла.