91. Компактность в Lp.

Рассмотрим пространство функций на некотором измеримом ограниченном множестве плоскости . В дальнейшем мы будем считать, что все эти функции продолжены нулем во вне и что интегрирование производится по всей плоскости. Фактически интегралы будут сводиться к интегралам по ограниченным измеримым множествам.

Теорема. Для компактности множества U элементов необходимо и достаточно, чтобы все функции из и удовлетворяли следующим двум условиям:

1. Существует такое что

где обозначение левой части неравенства (28). Эта величина называется нормой на [62].

2. При любом заданном существует одно и то же для всех из такое, что

Мы знаем, что для всякой фиксированной функции из при заданном существует такое, что имеет место (29) (непрерывность в среднем) [70]. Это же очевидно имеет место и для конечного числа функций из . Достаточно взять наименьшее из соответствующих каждой . Свойство (29), которое должно иметь место для всех из U, можно назвать равностепенной непрерывностью в среднем всех функций из U. Отметим еще, что измеримая функция и вне некоторого ограниченного измеримого множества.

Необходимость указанных условий доказывается совершенно так же, как и для С. Только везде абсолютное значение разности надо заменить на . Действительно, ограниченность (28), которую можно записать в виде , как мы знаем, необходима для компактности. Далее из компактности следует существование конечной у сети, т. е. конечного числа таких функций из что для любой найдется такая что . Для всех существует такое, что выполняется условие

Далее пишем

и, применяя при неравенство Минковского, получаем (29), в силу (30) и . При получается непосредственно.

Будем теперь доказывать достаточность условий (28) и (29). Обозначим через среднюю функцию для Мы имели формулу (178) из [71]. При любом 1 она имеет вид

где постоянная. В силу условия (29) при любом заданном существует , одно и то же для всех функций такое, что

и неравенство (31) дает нам для любой :

Норма слева берется по всей плоскости (фактически по ограниченному множеству). Тем более при Фиксируя мы можем утверждать, что функции образуют -сеть для множества U функций Пусть промежуток, содержащий . В силу условия (28) и теоремы 3 из [71] можно утверждать, что множество компактно в С на и, тем более, компактно в на . Таким образом, функции образуют компактную s сеть для U и, в силу произвольности s, можно утверждать, что множество U компактно. Достаточность (28) и (29) доказана.

Рассмотрим теперь тот случай, когда есть полная плоскость Предыдущее доказательство уже теряет силу, ибо множество функций может оказаться некомпактным. Необходимость условий (28) и (29) для компактности доказывается, как и выше. Но эти условия недостаточны. К ним надо добавить еще одно условие, а именно: для любого заданного существует такое положительное N, одно и то же для всех функций из что

где есть промежуток . Отметим, что если условие (33) выполнено для некоторого то оно сохраняется и при увеличении

Докажем необходимость условия (33). Если множество U компактно, то для него существует конечная сеть функций . Для каждой из этих функций выполняется условие (33) и ввиду того, что их конечное число, при любом заданном существует такое что

Возьмем какую-либо . Найдется такая функция что . Из неравенства

неравенства (34) и следует

что и доказывает (33) для любой .

Докажем теперь достаточность условий (28), (29) и (33). Пусть для функций эти условия выполнены и любая последовательность функций из U. Надо доказать, что из нее можно выбрать подпоследовательность, которая сходится в на . Из (28) и (29) следует, что можно выбрать подпоследовательность которая сходится в на Из этой последней можно выбрать новую подпоследовательность которая сходится в на и т. д. Составим подпоследовательность

которая является подпоследовательностью для основной последовательности . Если — любое целое положительное число, то все члены последовательности (35), начиная с принадлежат той последовательности которая сходится в на , т. е. последовательность (35) сходится в на любом конечном промежутке . Докажем, что она сходится в и на . Рассмотрим интеграл:

Принимая во внимание очевидное неравенство , получим

В силу условия (33), при любом заданном существует такое , что сумма слагаемых правой части, кроме первого, меньше у. Фиксируя такое ту получим

Но из сходимости последовательности (35) в на следует, что стоящий в правой части интеграл не больше у при всех доста

точно больших q и , и, следовательно, существует такое что

т. е. последовательность (35) сходится в себе в и, в силу полноты эта последовательность имеет предел в Достаточность условий (28), (29) и (33) доказана. Легко убедиться в том, что последнее условие не есть следствие двух первых.

Мы для определенности рассмотрели случай плоскости. Все сказанное, очевидно, справедливо и в любом пространстве Обозначая через точку этого пространства и вводя обозначение запишем условия (28) и (29) в виде

где у имеет составляющие