35. Измеримые множества.

Мы выделим сейчас класс множеств, которые назовем измеримыми множествами и для которых в дальнейшем докажем аддитивность внешней меры. Для этих измеримых множеств внешнюю меру назовем просто мерой.

Определение. Множество g называется измеримым, если его можно покрыть открытым множеством О так, что внешняя мера разности сколь угодно мала, т. е. множество g называется измеримым, если для любого заданного положительного в существует такое открытое множество О, что . Внешнюю меру измеримого множества будем называть просто мерой этого множества.

То требование, которое входит в определение измеримого множества, сильнее, чем то свойство, которое формулировано в теореме 4. Это последнее свойство справедливо для всех множеств, а существуют, при некотором выборе функции такие множества, которые неизмеримы, т. е. которые не подчиняются данному выше определению. Для обозначения меры измеримого множества мы можем пользоваться символом так как для измеримого множества мера по определению совпадает с внешней мерой. Мы покажем сейчас, что любой промежуток А измерим. Его внешняя мера, в силу теоремы 1, равна . В дальнейшем увидим, что и всякая элементарная фигура измерима. Мы имеем поэтому право меру любого измеримого множества g обозначать просто символом G (g). Согласимся еще внешнюю меру и просто меру пустого множества считать равной нулю. Это находится в согласии с данными выше определениями. Введем еще одно определение: множество g называется множеством меры нуль по отношению к G (А) или просто множеством меры нуль (поскольку G (А) считается фиксированным), если Из этого определения непосредственно следует, что всякая часть множества меры нуль есть также множество меры нуль. Докажем теперь ряд свойств измеримых множеств. Эти свойства будут служить основой во всем дальнейшем изложении.

Теорема 5. Открытое множество измеримо.

Если g — открытое множество, то для проверки его измеримости достаточно взять О, совпадающим с g. При этом

Теорема 6. Любой промежуток А есть измеримое множество, и его мера равна

Пусть А — некоторый промежуток. Подвергая его а - расширению, получим промежуток Разность есть элементарная фигура, и, в силу нормальности функции мы имеем при т. е. для любого заданного положительного существует такое а, что . Пусть О — открытый промежуток т. е. промежуток, который получается из путем удаления границы . В силу процесса расширения . Для доказательства измеримости А остается показать, что

Мы имеем и, в силу теоремы 1, имеем . Но есть элементарная фигура, и, в силу теоремы 2, имеем что и требовалось доказать. Мера А, равная внешней мере А, совпадает с ибо А — частный случай элементарной фигуры.

Теорема 7. Понятие множества меры нуль, т. е. множества с внешней мерой, равной нулю, совпадает с понятием измеримого множества, мера которого равна нулю.

Если то, согласно теореме 4, существует такое открытое множество О, что для любого заданного положительного а потому, в силу теоремы 1, тем более т. е. g измеримо. Мера g равна ее внешней мере, т. е. равна нулю. Наоборот, если g — измеримое множество и его мера равна нулю, то, в силу определения меры, и внешняя мера g равна нулю, и тем самым теорема доказана.

Теорема 8. Сумма конечного или счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество.

Пусть измеримые множества, g — их и — заданное положительное число. Согласно определению измеримого множества существуют такие открытые множества что Сумма открытых множеств есть некоторое открытое множество О, Причем очевидно и, в силу (6) из [30], имеем

Пользуясь теоремами 1 и 3, получаем

или, в силу

что и доказывает измеримость g. Мы переходим сейчас к доказательству измеримости замкнутых множеств. Предварительно докажем одну лемму.

Лемма. Если расстояние между двумя множествами выражается положительным числом, то положительное расстояние между множеством Для любого заданного положительного существует такое покрытие множества что

Каждый из промежутков, входящий в , разбиваем на конечное число промежутков так, чтобы диагонали всех полученных промежутков оказались При этом все промежутки, входящие в S, разобьются на три класса: к первому классу отойдут те промежутки, которые покрывают только точки ко второму те, которые покрывают только точки и, наконец, к третьему те, которые не покрывают ни точек ни точек . Промежутков, которые бы покрывали и точки и точки не будет вовсе. Промежутки третьего класса мы можем просто выбросить из разбиения При этом сумма может только уменьшиться, и неравенство (35) сохранит свою силу. Таким образом, можем считать, что покрытие S распадается на покрытия и причем промежутки покрывают и не имеют общих точек с а промежутки покрывают и не имеют общих точек с Мы имеем о и, в силу (35),

Из определения точной нижней границы вытекает и неравенство (36) приводит к неравенству откуда, ввиду произвольности в, следует . С другой стороны, теорема 3 дает . Таким образом, получаем что и доказывает лемму.

Следствие. Если два замкнутых множества без общих точек, из которых по крайней мере одно ограничено, то Если ограниченные множества попарно без общих точек, то Для доказательства этого следствия достаточно воспользоваться тем, что было сказано в [32] относительно расстояния между замкнутыми множествами без общих точек.

Теорема 9. Замкнутые множества измеримы.

Предположим сначала, что -некоторое ограниченное замкнутое множество, и пусть — заданное положительное число. Согласно теореме 4 существует такое открытое множество О, что Докажем, что это открытое множество О и будет удовлетворять неравенству

которое входит в определение измеримого множества. В силу теоремы 3 из [33] разность есть открытое множество, и, следовательно, на основании теоремы 5, ее можно представить в виде суммы счетного числа промежутков не имеющих попарно общих точек,

Фиксируя целое положительное , рассмотрим сумму первых слагаемых суммы (38), причем над каждым промежутком, входящим в эту сумму, произведем -сокращение, выбрав положительное число а каким-нибудь образом. Таким образом, получим некоторую элементарную фигуру

Если мы замкнем каждый промежуток , то написанная сумма даст нам замкнутое множество, которое совпадает очевидно с замыканием R элементарной фигуры R. Каждый замкнутый промежуток покрывается соответствующим промежутком , входящим в состав суммы (38). Тем самым замкнутое множество R не имеет общих точек с F, а потому расстояние между ними положительно. Тем более будет положительным расстояние между R и и согласно лемме будем иметь

Но, согласно и, следовательно,

Принимая во внимание неравенство получим отсюда

По условию, F — ограниченное множество, и, следовательно, есть конечное число. Последнее неравенство приводит нас к неравенству

Но

и предыдущее неравенство переписывается в виде

Устремляя сначала а к нулю, а затем к бесконечности, получим неравенство

Наконец из формулы (38) и теоремы 3 следует

т. е. неравенство (37). Положим теперь, что замкнутое множество F неограничено. Пусть — замкнутый круг с центром в начале и радиусом . Строя замкнутые ограниченные множества можем написать

и измеримость F будет непосредственно следовать из теоремы 8. Таким образом теорема 9 доказана.

Теорема 10. Если g — измеримое множество, то и дополнительное множество измеримо.

В силу измеримости g существуют такие открытые множества что . Построим замкнутые множества . В силу имеем и, кроме того, в силу (1.9) из [30], можем написать равенство: . Заменяя в левой части суммой всех получим

и, в силу будем иметь

Левая часть написанного неравенства не зависит от и, устремляя к бесконечности, придем к равенству

из которого следует, что разность, стоящая слева, представляет собой множество меры нуль. Таким образом, можем нанисать в виде суммы измеримых множеств:

откуда и следует, в силу теоремы 8, измеримость g. Согласно определению мы устанавливаем измеримость множества при помощи открытых множеств. В следующей теореме мы покажем, что аналогичным образом можно устанавливать измеримость множества при помощи замкнутых множеств.

Теорема 11. Для того чтобы g было измеримым, необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного положительного существовало такое замкнутое множество F, что

Измеримость g равносильна измеримости и для этого необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного положительного в существовало такое открытое множество О, что Если положить и принять во внимание, что, в силу (19) из [31], , то мы и получим утверждение теоремы.

Теорема 12. Произведение конечного или счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество. Разность двух измеримых множеств есть измеримое множество.

Если множества измеримы, то измеримость их произведения вытекает непосредственно из формулы [31]

и теорем 10 и 8. Если А и В измеримы, то измеримость их разности непосредственно следует из формулы и доказанной только что измеримости произведения.

Теорема 13. Мера суммы конечного или счетного числа измеримых множеств попарно без общих точек равна сумме мер слагаемых множеств.

Пусть измеримые множества попарно без общих точек. Измеримость их суммы следует из теоремы 8. Положим сначала, что каждое из множеств ограничено. Согласно теореме 11 для любого

заданного положительного существуют такие замкнутые множества что причем множества очевидно, — ограниченные множества, не имеющие попарно общих точек. Из формулы непосредственно следует

С другой стороны, рассматривая первые из множеств будем иметь

К конечной сумме замкнутых множеств попарно без общих точек мы можем применить доказанную выше лемму и, таким образом, получим, пользуясь еще неравенством

Рассмотрим наиболее сложный случай, когда число множеств бесконечно. Увеличивая в последнем неравенстве беспредельно число , будем иметь

или, в силу производности ,

Сравнивая это неравенство с неравенством (32), мы и приходим к равенству

которое и доказывает теорему. Принимая во внимание измеримость и их суммы, можем записать последнюю формулу в виде

Рассмотрим теперь тот случай, когда среди множеств имеются неограниченные множества. Пусть замкнутый круг с центром в начале и радиусом . Рассмотрим множества

Каждое из них ограничено, и все они измеримы, поскольку замкнутое множество и разность замкнутых множеств суть измеримые множества, а произведение измеримых множеств тоже измеримо. Мы можем представить каждое из множеств в виде суммы ограниченных измеримых множеств, не имеющих попарно общих точек:

и, в силу доказанного выше, будем иметь

Сумму g множеств можем представить в виде двойной суммы ограниченных множеств не имеющих попарно общих точек, причем некоторые из множеств могут быть и пустыми:

В силу доказанного выше имем

Порядок суммирования ввиду неотрицательности слагаемых несущественен [I; 134]. Будем суммировать сначала по k, а потом по . Принимая во внимание (41), придем таким образом опять к формуле (39), и теорема доказана полностью.

Замечание. Если мы откинем предположение о том, что измеримые множества попарно без общих точек, то для их суммы, которая измерима в силу теоремы , будем иметь вместо (40) неравенство

Оно непосредственно следует из теоремы 3 и того, что для измеримых множеств внешняя мера совпадает просто с мерой. Если для всех «множеств g» мера равна нулю, то (40) дает . Но мера не может быть отрицательной, и потому т. е. сумма конечного и счетного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.

Все доказанные выше теоремы были справедливы и для измеримых множеств бесконечной меры. В последних теоремах нам придется делать оговорку по этому поводу.

Теорема 14. Если А и В измеримы, и конечной меры, то

Разность измерима в силу теоремы 12. Мы имеем , причем В и D — без общих точек. По теореме и, вычитая из обеих частей конечное число получим (42).

Теорема 15. Если неубывающая последовательность измеримых множеств, то предельное множество g измеримо и

Измеримость g непосредственно следует из формулы

Слагаемые, стоящие справа, — попарно без общих точек, и если все имеют конечную меру, то

Сумма первых слагаемых справа равна т. е. из последней формулы следует (43). Если некоторое имеет бесконечную меру, то предельное множество и подавно имеет бесконечную меру, и формула (43) очевидна. Отметим, что в этой формуле допустимо значение как для , так и для .

Теорема 16. Если невозрастающая последовательность множеств конечной меры, то предельное множество g измеримо, и имеет место формула (43).

Представим в виде суммы множеств попарно без общих точек

Измеримость g вытекает из теоремы 8 и 14. Применяя к (45) теоремы 13 и 14, получим

т. е.

откуда и следует (43).

Замечание. Измеримость предельного множества g вытекает из (45) и без предположения конечности меры