25. Пространство непрерывных функций многих переменных.
Положим, что на некотором конечном замкнутом промежутке 
задана непрерывная функция 
При помощи линейного преобразования 
мы можем свести 
к промежутку 
и непрерывная функция останется непрерывной и после преобразования. Будем считать, что уже первоначальный промежуток 
был промежутком 
Построим для 
полиномы С. Н. Бернштейна [II; 154]:
Пользуясь равномерной непрерывностью 
можно, как и в 
показать, что 
при беспредельном возрастании тип равномерно на 
Положим теперь, что имеется функция 
непрерывная на ограниченном замкнутом множестве 
Используя, как и выше, линейное преобразование, можем считать, что F принадлежит указанному выше промежутку 
Далее мы можем распространить 
на весь промежуток 
с сохранением непрерывности и наибольшего значения 
Для таким образом распространенной 
мы можем построить последовательность полиномов 
так, что 
равномерно на 
и тем более равномерно на 
Рассмотрим теперь аналогично тому, как это мы делали в [14], пространство С функций непрерывных в 
со следующим определением нормы: 
на 
Как и в [15], можно показать, что общая форма линейных функционалов в С есть интеграл Стилтьеса:
где 
— функция ограниченной вариации на 
характеризующая функционал 
При определении функции ограниченной вариации можем пользоваться суммами (128), а интеграл (130) определять как предел сумм (118) при беспредельном измельчании промежутков. Сведения о пространстве непрерывных функций на ограниченных замкнутых множествах можно найти в статье Радона «О линейных функциональных преобразованиях и функциональных уравнениях» («Успехи математических наук», вып. 1, 1936 г.) и в книге Ф. Риcса и Б. Секефольви-Надя «Лекции по функциональному анализу».
