45. Свойство С.
Можно показать, что измеримость функции равносильна некоторому другому свойству — свойству С, которое определяется при помощи понятия непрерывности.
Предварительно введем некоторые новые понятия.
Функция 
определенная на замкнутом множестве F, называется и 
-прерывной в точке 
этого множества, если для любого заданного положительного 
существует такое положительное 
, что 
если 
и принадлежит ггокрестности точки 
Функция 
называется непрерывной на замкнутом множестве 
, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Отметим, что, в силу данного выше определения непрерывности, любая функция непрерывна в изолированной точке 
множества, т. е. в такой точке, у которой некоторая ее 
-окрестность не содержит никаких точек 
кроме 
Указанным выше образом можно ввести определение непрерывности функции и на любом, не обязательно замкнутом, множестве. Введем еще новое понятие.
Определение. Говорят, что функция 
определенная на измеримом множестве 
обладает на этом множестве свойством С, если для любого заданного положительного 
существует такое замкнутое множество 
принадлежащее 
что, во-первых, 
и, во-вторых, 
непрерывна на 
Равносильность свойства С и измеримости устанавливается следующей теоремой, которая была доказана в 1913 г. акад. Н. Н. Лузиным.
Теорема. Если функция 
определена на измеримом множестве 
конечной меры и имеет почти везде на 
конечные значения, то для измеримости этой функции необходимо и достаточно, чтобы она на 
имела свойство С.
Мы не будем пользоваться этой теоремой и на доказательстве ее не останавливаемся.
