51. Свойства интеграла.

Пользуясь суммами мы можем доказывать некоторые свойства интеграла от неограниченной неотрицательной функции совершенно так же, как это делали в [49]. Кроме того, при доказательстве свойств можем пользоваться и вторым определением интеграла. Отметим еще, что ограниченная неотрицательная функция, то совпадает с при достаточно больших N, и новое определение интеграла совпадает с прежним из [48].

Переходим к доказательству свойств интеграла. Как и в [49], мы считаем, что g — измеримое множество конечной меры.

1. Если суммируемые функции, то и их линейная комбинация с постоянными положительными коэффициентами есть суммируемая функция, и имеет место формула (13).

Доказательство то же, что и в 149].

2. Если суммируема на g, то она суммируема и на любой измеримой части g множества

Для в силу неотрицательности и свойства 9 из [49], имеем

Переходя к пределу, получим

и если правая часть конечна, то левая и подавно конечна.

3. Если суммируема на g и множество разбито на конечное или счетное число измеримых множеств, то имеет место формула (20).

Рассмотрим случай бесконечного числа множеств g. Для ограниченной функции имеем

откуда следует

Беспредельно увеличивая N, получаем

Докажем противоположное неравенство. Ввиду неотрицательности можем написать, в силу (40), для любого конечного значения

Беспредельно увеличивая N, в пределе получим

Увеличивая теперь беспредельно , мы и приходим к неравенству

противоположному неравенству (42).

4. Если g разбито на конечное или счетное число измеримых множеств функция суммируема на каждом g и ряд

с неотрицательными слагаемыми имеет конечную сумму (сходится), то суммируема и имеет место формула (20).

Для функции мы имеем, как и выше, формулу (40) и неравенство (41), правая часть которого представляет собой конечное число. Из этого неравенства непосредственно следует, что интегралы (38) имеют конечный предел, т. е. суммируема на g. После этого формула (20) непосредственно следует из предыдущего свойства.

5. Если суммируема на g, то при любом заданном существует такое что

при

Мы можем фиксировать такое N, что

При этом, в силу (39), для любого будет

и при мы получим требуемое неравенство.

Последние два свойства показывают, что интеграл от неограниченной неотрицательной функции обладает, как и интеграл от ограниченной функции, свойствами полной аддитивности и абсолютной непрерывности.

6. Если g есть множество меры нуль, то интеграл от равен нулю.

Доказательство то же, что и в [49].

7. Интегралы эквивалентных на g функций равны.

8. Если интеграл от равен нулю, то эта функция эквивалентна нулю,

9. Если суммируема, то и суммируема и имеет место неравенство

10. Если последовательность неотрицательных суммируемых на -функций и

то по мере на

Доказательство свойств 7, 8 и 9 то же, что и в [49]. Неравенство (45) имеем право писать для и, переходя к пределу при получаем (45). Свойство 10 доказываем от обратного. Если не по мере, то существует такое b 0, что не 0, где Отсюда следует, что существует такая подпоследовательность что положительное число. Имеем

откуда следует, что интеграл, стоящий слева, не а это противоречит условию.

Переходим теперь к определению интеграла Лебега — Стилтьеса для неограниченной функции, которая может менять знак. Для отрицательных (неположительных) функций мы можем определить интеграл, как и выше.