108. Вполне непрерывные операторы в ...
Рассмотрим в С интегральный оператор
где
конечный промежуток. Если ядро
непрерывно в квадрате
, то формула (109) дает, очевидно, дистрибутивный оператор из С в С. Его ограниченность непосредственно следует из неравенства
Если U — ограниченное множество функций
в С, т. е.
то нетрудно видеть, что множество соответствующих
компактно. Ограниченность непосредственно следует из (110), в силу шах
а равностепенная непрерывность — из неравенства
Таким образом, при непрерывности ядра в Q оператор (109) вполне непрерывен в С.
Можно показать, что норма оператора (109) в точности равна:
Оператор (109) будет вполпе непрерывным в С и при меньших предположениях об ядре. Положим, например, что
ограниченная измеримая в квадрате Q функция и что
при любом
из
для почти всех t. При этом [54]:
и при любом заданном
существует такое
что
при
Это последнее доказывается аналогично тому, как доказывается равномерная непрерывность функции, непрерывной на конечном замкнутом промежутке
.
Ограниченность и равностепенная непрерывность
доказываются совершенно так же, как и выше. В дальнейшем мы подробно исследуем интегральные операторы с полярным ядром.
2. Рассмотрим теперь оператор (109) в
в предположении, что ядро
т. е.
Если
любая функция из
то интеграл (109) имеет смысл. Нетрудно показать, что он определяет измеримую функцию
Согласно формуле Гёльдера имеем
Возводя обе части в степень
и интегрируя по
получим
т. е. (114) есть линейный оператор из
Можно показать, что А есть норма этого оператора. Докажем, что это вполне непрерывный оператор. Пусть U — ограниченное в
множество функций
множество соответствующих функций
Надо доказать компактность V. По условию
если
и из (114) следует
Остается доказать, что
равностепенно непрерывны в среднем. Продолжая
нулем вне
нулем вне Q, имеем
откуда, как и выше,
т. е.
В силу того, что
непрерывна в среднем в
на Q, при любом заданном
существует такое
, что
и из (115) следует, что
причем
одно и то же для всех
что и требовалось доказать. Аналогично проводится доказательство для случая бесконечного промежутка и многих независимых переменных.
3. Рассмотрим теперь оператор
в задаваемый формулами:
при условии
Вводя обозначения для элементов
и применяя неравенство Гёльдера для сумм, получим совершенно так же, как и выше
так что оператор (116) есть линейный оператор из
Докажем, что он вполне непрерывен. Пусть U — ограниченное множество элементов
и V — соответствующее множество элементов
. Надо доказать его компактность. Его ограниченность
следует из (118) и остается доказать, что при любом заданном
существует такое целое положительное число
, что
Из (116) и неравенства Гёльдера следует
В силу (117), двойной ряд с общим членом
сходится, и, следовательно, существует такое
что
отсюда, в силу (120), и следует (119).