108. Вполне непрерывные операторы в ...

Рассмотрим в С интегральный оператор

где конечный промежуток. Если ядро непрерывно в квадрате , то формула (109) дает, очевидно, дистрибутивный оператор из С в С. Его ограниченность непосредственно следует из неравенства

Если U — ограниченное множество функций в С, т. е. то нетрудно видеть, что множество соответствующих компактно. Ограниченность непосредственно следует из (110), в силу шах а равностепенная непрерывность — из неравенства

Таким образом, при непрерывности ядра в Q оператор (109) вполне непрерывен в С.

Можно показать, что норма оператора (109) в точности равна:

Оператор (109) будет вполпе непрерывным в С и при меньших предположениях об ядре. Положим, например, что ограниченная измеримая в квадрате Q функция и что

при любом из для почти всех t. При этом [54]:

и при любом заданном существует такое что при

Это последнее доказывается аналогично тому, как доказывается равномерная непрерывность функции, непрерывной на конечном замкнутом промежутке .

Ограниченность и равностепенная непрерывность доказываются совершенно так же, как и выше. В дальнейшем мы подробно исследуем интегральные операторы с полярным ядром.

2. Рассмотрим теперь оператор (109) в в предположении, что ядро т. е.

Если любая функция из то интеграл (109) имеет смысл. Нетрудно показать, что он определяет измеримую функцию Согласно формуле Гёльдера имеем

Возводя обе части в степень и интегрируя по получим

т. е. (114) есть линейный оператор из Можно показать, что А есть норма этого оператора. Докажем, что это вполне непрерывный оператор. Пусть U — ограниченное в множество функций множество соответствующих функций Надо доказать компактность V. По условию если и из (114) следует Остается доказать, что

равностепенно непрерывны в среднем. Продолжая нулем вне нулем вне Q, имеем

откуда, как и выше,

т. е.

В силу того, что непрерывна в среднем в на Q, при любом заданном существует такое , что

и из (115) следует, что

причем одно и то же для всех что и требовалось доказать. Аналогично проводится доказательство для случая бесконечного промежутка и многих независимых переменных.

3. Рассмотрим теперь оператор в задаваемый формулами:

при условии

Вводя обозначения для элементов и применяя неравенство Гёльдера для сумм, получим совершенно так же, как и выше

так что оператор (116) есть линейный оператор из Докажем, что он вполне непрерывен. Пусть U — ограниченное множество элементов и V — соответствующее множество элементов . Надо доказать его компактность. Его ограниченность

следует из (118) и остается доказать, что при любом заданном существует такое целое положительное число , что

Из (116) и неравенства Гёльдера следует

В силу (117), двойной ряд с общим членом сходится, и, следовательно, существует такое что

отсюда, в силу (120), и следует (119).