153. Унитарная эквивалентность самосопряженных операторов.

Пусть разложение единицы для самосопряженного оператора унитарный оператор и Оператор как нетрудно видеть, также является разложением единицы. Пусть В — соответствующий самосопряженный оператор, так что определяется как предел суммы:

откуда видно, что совпадает с В, т. е. есть спектральная функция оператора В. Отсюда следует, что унитарно эквивалентные самосопряженные операторы должны иметь одинаковый спектр.

В случае чисто точечного спектра совпадение собственных значений вместе с их рангом является не только необходимым, но и

достаточным условием унитарной эквивалентности. Соответствующий унитарный оператор U легко строится как оператор, преобразующий подпространство собственных элементов В в подпространство собственных элементов А, соответствующих тому же собственному значению. Вопрос об условиях унитарной эквивалентности становится гораздо более сложным при наличии непрерывного спектра. Приведем без доказательства основной относящийся к этому случаю результат (пространство считается сепарабельным).

Для унитарной эквивалентности двух самосопряженных операторов и необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) спектры этих операторов принадлежат одному и тому же типу (чисто точечный спектр, чисто непрерывный спектр или смешанный спектр); 2) при наличии точечного спектра он состоит для обоих операторов из одних и тех же значений с одинаковым для обоих операторов рангом; 3) при наличии непрерывного спектра число инвариантных подпространств в нормальном разбиении непрерывной части спектральной функции для операторов одно и то же, и если ввести для нормальных представлений непрерывного спектра и функции

которые мы строили В [149], то множество меры нуль по отношению должно быть множеством меры нуль по отношению и, наоборот, т. е. при всяком

где измерима по отношению не отрицательна и суммируема, и аналогично для