38. Тело множеств.

Введем новое понятие, касающееся семейств точечных множеств, причем под семейством множеств мы понимаем некоторую совокупность множеств (множество множеств). Назовем телом множеств семейство множеств, обладающее следующими двумя свойствами: 1) если множества входят в семейство, то и их разность входит в семейство; 2) если и без общих элементов и входят в семейство, то и их сумма входит в семейство.

Отметим некоторые непосредственные следствия данного определения. Пустое множество как разность двух одинаковых множеств, принадлежащих телу множеств, обязательно входит в любое тело множеств. Далее из формул [31]

непосредственно следует, что произведение двух множеств, принадлежащих телу, также принадлежит телу, и сумма двух множеств, принадлежащих телу, принадлежит телу и в том случае, когда множества имеют общие точки. Это утверждение, очевидно, обобщается и на любое конечное число сомножителей и слагаемых, т. е. сумма и произведение конечного числа множеств, принадлежащих телу, также принадлежит телу.

Усилим требование, входящее во второй пункт определения тела множеств, а именно, Потребуем принадлежности к телу суммы счетного числа множеств попарно без общих точек, принадлежащих к телу. Такое тело множеств называется замкнутым телом множеств. Итак, назовем замкнутым телом множеств семейство множеств, обладающее следующими двумя свойствами: 1) если множества входят в семейство, то и их разность входит в семейство; 2) если семейство содержит конечное или счетное число множеств попарно без общих точек, то оно содержит и их сумму. Совершенно так же, как и выше, мы убеждаемся в том, что замкнутое тело множеств содержит любые конечные суммы и произведения входящих в него множеств. Покажем, что замкнутое тело множеств содержит

суммы и произведения счетного числа входящих в него множеств. Для того чтобы убедиться в этом, напишем следующие две формулы:

Доказательство этих формул не представляет никакого труда. Достаточно проверить, что всякий элемент (точка), входящий в множество, стоящее в левой части, входит в множество, стоящее в правой части, и наоборот. Пусть входит в замкнутое тело множеств Т. При этом слагаемые правой части формулы (51) попарно не имеют общих точек и входят в Т. Следовательно, согласно определению замкнутого тела Т, и сумма множеств входит в Т. Слагаемые, стоящие в квадратной скобке правой части формулы (52), входят в а потому и их сумма входит в Т. Следовательно, и вся правая часть, т. е. произведение множеств входит в что и требовалось доказать.

Из теорем, доказанных в [36], непосредственно следует, что есть замкнутое тело множеств. Рассмотрим функцию промежутков которые мы распространили на замкнутое тело Семейство промежутков не представляет собой тела, ибо уже разность двух промежутков может не быть промежутком. Семейство элементарных фигур R уже является телом, но не замкнутым телом. Наш процесс распространения функций состоял в том, что мы сначала распространили на тело элементарных фигур, а затем и на замкнутое тело При этом функция оказалась неотрицательной, вполне аддитивной и нормальной в в том смысле, который был указан в [37]. Выясним связь понятий нормальности и аддитивности функции множеств.

Пусть имеется некоторое тело которое может быть и незамкнутым. Функция , определенная для всех множеств, входящих в называется вполне аддитивной в Т при выполнении следующего условия: если множество , принадлежащее есть сумма конечного или счетного числа множеств также принадлежащих Т и не имеющих попарно общих точек, то

Мы уже и раньше упоминали о понятии вполне аддитивной функции. Между понятиями вполне аддитивной и нормальной функции

имеется непосредственная связь, которая выражается следующей теоремой:

Теорема. Для того чтобы функция определенная на некотором теле Т и принимающая лишь конечные значения, была аддитивной и нормальной, необходимо и достаточно, чтобы она была вполне аддитивной.

Из аддитивности непосредственно следует, что если то . Пусть функция аддитивна и нормальна, и докажем, что она вполне аддитивна. Положим, что есть сумма счетного числа множеств попарно без общих точек. Можем написать

и, в силу аддитивности функции,

Но есть исчезающая последовательность. В равенстве (53) переходим к пределу, учитывая нормальность,

Этим и доказано, что вполне аддитивна. Положим теперь наоборот, что вполне аддитивна и докажем, что она нормальна. Пусть — какая-либо исчезающая последовательность. Надо доказать, что Можем написать

причем слагаемые не имеют попарно общих точек, и отсюда, в силу аддитивности , получим

С другой стороны, из формулы

следует, в силу того, что вполне аддитивна,

и, сравнивая с (54), получаем что и требовалось доказать. Выше мы построили распространение неотрицательной, аддитивной и нормальной функции промежутков на замкнутое тело

причем полученная таким образом функция оказалась вполне аддитивной. Можно доказать, что никакое другое распространение на при условии полной аддитивности невозможно.