180. Операция умножения.

Рассмотрим операцию умножения на независимую переменную на конечном промежутке, причем за левый конец промежутка возьмем х = 0. Итак, рассмотрим на конечном промежутке [0, а] и операцию умножения на независимую переменную:

Мы имеем

откуда видно, что А есть самосопряженный оператор, и что его норма не превышает а. Если брать отличными от нуля лишь в малой окрестности , то нетрудно убедиться в том, что норма А в точности равна а. Границы квадратичной формы при условии равны: Уравнение для собственных значений и собственных элементов имеет вид или откуда видно, что эквивалентна нулю, т. е. собственных значений нет, и спектр чисто непрерывный. Резольвента имеет, очевидно, вид . Если X лежит вне промежутка [0, а], то Если же X лежит на промежутке [0, а], то не при всяком принадлежит При этом оператор преобразует биоднозначно на линеал таких функций что Определим спектральную функцию , причем X надо считать принадлежащим промежутку [0, а]. Принимая во внимание, что

получаем для любых элементов :

откуда следует

Взяв получим дифференциальное решение при при Пользуясь формулой (157) и свойством из [52], нетрудно убедиться, что ортогональных к нему решений не имеется.

Рассмотрим более общий самосопряженный оператор

где — вещественная, измеримая и ограниченная в промежутке функция. Уравнение для собственных значений и собственных элементов имеет вид Пусть есть множество значений удовлетворяющих уравнению . Если мера равна нулю, то X не есть собственное значение. Если мера больше нуля, то X есть собственное значение, и любая полная ортогональная на множестве система функций представляет собой полную систему собственных функций, соответствующих указанному собственному значению, причем вне эти функции надо считать равными нулю. Если при любом X мера равна нулю, то оператор (158) имеет чисто непрерывный спектр. Совершенно аналогично (157) его спектральная функция определяется формулой

Все сказанное легко распространяется на случай функций многих переменных. Так, например, для функций принадлежащих на некотором конечном промежутке , мы можем определить самосопряженный оператор умножения на независимую переменную . Этот оператор имеет чисто непрерывный спектр на промежутке и его спектральная функция определяется следующим образом:

Вернемся к случаю одного переменного. Оператор умножения на независимое переменное на бесконечном промежутке уже не является ограниченным оператором. Мы его рассмотрим в дальнейшем. Если же мы возьмем оператор (158) и будем считать функцию ограниченной на бесконечном промежутке, то получим ограниченный линейный оператор. Итак, возьмем за основу пространство на промежутке и пусть вещественная, измеримая и ограниченная на этом промежутке функция. При этом формула (158) определяет самосопряженный ограниченный оператор. Если непрерывная в замкнутом промежутке границы оператора совпадают с наименьшим и наибольшим значениями .