14. Пространство непрерывных функций.

Рассмотрим множество всех функций, принимающих вещественные значения и непрерывных на заданном конечном промежутке и назовем это множество пространством С. Элементом этого пространства (или его вектором) является любая непрерывная на функция. Различные непрерывные функции представляют собой различные элементы С. Функцию, тождественно равную нулю на назовем нулевым элементом С. Если мы составим любую конечную линейную комбинацию вещественных функций, непрерывных на с вещественными коэффициентами то получим вещественную непрерывную на С функцию, т. е. элементы С можно умножать на вещественные числа и складывать, после чего опять получается некоторый элемент С. Эта операция подчиняется обычным законам элементарной алгебры, например:

Введем в пространстве С понятие нормы элемента, т. е., иначе говоря, введем понятие о длине вектора в пространстве С. Нормой элемента мы назовем наибольшее значение, которое принимает на . У нулевого элемента норма равна нулю, а у всякого другого она положительна. Будем обозначать норму элемента символом Введем, наконец, в пространстве С понятие сходимости. Мы будем говорить, что последовательность элементов из С сходится к элементу из . Это последнее равносильно тому, что наибольшее значение на промежутке стремится к нулю, а это, очевидно, равносильно тому, что равномерно на

Введем теперь понятие функционала и оператора в пространстве С. Функционалом в С назовем всякий определенный закон, согласно которому любому элементу из С сопоставляется определенное вещественное число. Для функционалов вводят обычно следующие обозначения: и т. д. Понятие функционала является видоизменением обычного понятия функции. Роль аргумента в случае функционала играют элементы С, а значением функционала является вещественное число. Функционал называется дистрибутивным, если для любой конечной линейной комбинации элементов он удовлетворяет равенству

Функционал называется ограниченным, если существует такое положительное число N, что для любого элемента из С выполняется неравенство

В левой части неравенства стоит абсолютное значение вещественного числа которым выражается значение функционала в С для элемента а справа стоит произведение положительного числа N на норму элемента т. е. произведение N на наибольшее значение, которое имеет на промежутке Дистрибутивные и ограниченные функционалы будем называть линейными функционалами. Можно еще ввести понятие непрерывности функционала, а именно функционал называется непрерывным при выполнении следующего условия; если

равномерно на то . Нетрудно видеть, что линейный функционал непрерывен. Действительно, пользуясь (76) и (77), можем написать

В силу равномерной сходимости имеем , и, следовательно, т. е. действительно Мы могли бы при определении линейного функционала потребовать дистрибутивности и непрерывности и затем доказать его ограниченность, т. е. при наличии дистрибутивности ограниченность функционала и его непрерывность равносильны. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта, которое не представляет никакого труда.

Приведем пример функционала. Пусть какая-либо фиксированная точка из промежутка Значения непрерывных функций в этой точке представляют собой линейный функционал в С. Определенный интеграл

также представляет собой пример линейного функционала. Пусть -функция ограниченной вариации на . Для всякого элемента из С можем составить интеграл Стилтьеса

Он представляет собой линейный функционал Его дистрибутивность вытекает из дистрибутивности интеграла по отношению к функции а его ограниченность непосредственно следует из оценки

где L есть наибольшее значение в промежутке Таким образом, для функционала (80) роль числа N, входящего в формулу (77), может играть полная вариация

Вернемся к неравенству (77). Если оно имеет место при некотором выборе положительного числа то оно тем более имеет место при больших значениях N. Покажем, что существует наименьшее значение N, при котором (77) имеет место.

Отметим прежде всего, что если то тождественно равно нулю на есть нулевой элемент С, если . Для всякого другого элемента Но нулевой элемент С можно представить в виде произведения где какая-либо непрерывная функция. Из (76) следует, что т. е. любой дистрибутивный функционал равен нулю на нулевом элементе С. Таким образом, для нулевого элемента неравенство (77) имеет вид и оно соблюдено при любом выборе N, так что мы можем рассматривать (77) лишь при Принимая во внимание (76), мы можем переписать (77) в виде

Но — есть элемент С с нормой единица.

Обозначим через точную верхнюю границу неотрицательных чисел где любой элемент С с нормой единица:

Из (78) непосредственно следует, что и есть наименьшее возможное значение N в неравенстве (77). Это число называется нормой функционала Его часто обозначают также через

Имеем

но (77) уже не может иметь месго для всех из С, если взять Отметим еще, что и если , то из (81) следует для любого элемента из С, т. е. функционал любому элементу сопоставляет число нуль. Из сказанного выше следует, что норма функционала, представимого формулой (78), не превышает Напомним, что в четвертом томе мы рассматривали пространство F непрерывных функций, но с другим определением нормы элемента [IV, 35].