83. Свойства интеграла Хеллингера.

Точная верхняя граница сумм (127) есть интеграл Хеллингера, который обозначается аналогично (117):

причем имеем для него формулу

Докажем, что этот интеграл является просто пределом сумм (127) при беспредельном измельчании промежутков .

Теорема 3. Если удовлетворяет условию (128) и — аналогичному условию

(g(х) - непрерывна), то сумма (127) и сумма,

имеют определенный предел при беспредельном измельчании , причем предел суммы (127) равен точной верхней границе таких сумм, т. е. интегралу (143).

Пусть, как и выше, i — точная верхняя граница сумм (127). Для заданного существует такое фиксированное разбиение на промежутки, что . Пусть настолько тонкое разбиение, что каждый частичный промежуток содержит не более одной точки деления из , и что приращение непрерывной функции на каждом частичном промежутке не больше . Для разбиения мы имеем

Если есть число точек деления в разбиении 80, то не больше частичных промежутков 8 при переходе к 880 разобьются на два промежутка, и при этом соответствующее неотрицательное слагаемое суммы заменяется двумя неотрицательными слагаемыми суммы Каждое из этих трех слагаемых, в силу сказанного выше о приращении и свойства (128), не больше , и, следовательно,

Сравнивая с (147), получаем откуда, в силу произвольности , и следует, что сумма (127) при беспредельном измельчании стремится к i. Для исследования сумм (146) отметим, что представима формулой вида и суммы

так же, как и аналогичные суммы для имеют предел при беспредельном измельчании Отсюда следует, что и сумма

также имеет предел. Он совпадает с интегралом (122). Таким образом, получаем следующие интегралы Хеллингера:

В силу сказанного в [81],

где

Можно рассматривать более общие суммы

и

где непрерывна в существуют интегралы (148) и — любое значение из . Эти суммы также имеют определенный предел при беспредельном измельчении . Достаточно доказать это для сумм (150). Рассмотрим суммы

где наименьшее значение непрерывной функции на замкнутом промежутке . Совершенно так же, как и выше, можно показать, что суммы не убывают при добавлении новых точек деления, что они ограничены и имеют определенный предел при беспредельном измельчении . В силу равномерной непрерывности и и условия (128), разность сумм (150) и (152) стремится к нулю при беспредельном измельчении и, следовательно, суммы (150) также имеют определенный предел. Мы получаем, таким образом, следующие интегралы Хеллингера:

Изложенную теорию можно распространить и на тот случай, когда разрывна. Указанные суммы имеют определенный предел для регулярной в смысле общего интеграла Стилтьеса последовательности подразделений .

Вся изложенная теория остается, очевидно, справедливой и для того случая, когда комплексные функции, причем должны удовлетворять условию

Везде надо заменить квадраты на квадраты модуля, т. е. на

Отметим еще некоторые простые свойства интеграла Хеллингера. Пусть удовлетворяет условию (128) и не убывает. Построим функцию

где непрерывна, и рассмотрим суммы

Применяем теорему о среднем:

где . Сумма (155) перепишется в виде

и в пределе получим

Совершенно аналогично, если наряду с (179) имеем

где удовлетворяет условию (128) и не убывает, а непрерывна, то получим

Если удовлетворяют условию (128), но не монотонны, то получим также формулу (156), пользуясь каноническим представлением в виде разности неубывающих функций. Отметим, что также, очевидно, удовлетворяют условию (128).