3. Суммы Дарбу.

При рассмотрении интеграла Римана мы вводили так называемые суммы Дарбу. Аналогичные суммы будут играть основную роль при всех обобщениях понятия интеграла, которые введем в дальнейшем. В настоящем параграфе мы построим эти суммы и исследуем их свойства для случая интеграла Стилтьеса, определенного выше. Все понятия, которые введем в настоящем параграфе, и факты, которые мы при этом докажем, будут с некоторыми несущественными изменениями повторяться и при дальнейших обобщениях понятия интеграла, и мы часто будем ссылаться на результаты настоящего параграфа.

Напомним прежде всего определение точных границ множества вещественных чисел [I; 39]. Пусть имеется некоторое множество g вещественных чисел, и положим, что оно ограничено сверху, т. е. существует такое число что все числа множества меньше L. При этом существует одно определенное число М, обладающее следующим свойством: все числа множества g не больше но при любом положительном имеются числа множества g, которые больше М — s. Это число М называется точной верхней границей множества g. Совершенно аналогично, если множество ограничено снизу, т. е. если все числа множества больше некоторого определенного числа, то это множество имеет точную нижнюю границу , которая обладает следующим свойством: все числа множества g не меньше , но при любом положительном имеются числа множества g, которые меньше . Если множество неограничено сверху, то говорят, что его точная верхняя граница равна и, точно так же, если множество неограничено снизу, то говорят, что его точная нижняя граница равна . Пользуются следующей записью для обозначения точных границ:

Пусть - ограниченные функции на промежутке который может быть как конечным, так и бесконечным, причем неубывающая функция, и пусть имеется некоторое разбиение промежутка на части:

которое мы символически обозначим одной буквой . В случае промежутка бесконечного налево , а в случае промежутка бесконечного направо . Пусть далее точная нижняя и точная верхняя границы значений на промежутке Составим следующие суммы Дарбу — Стилтьеса, соответствующие указанному разбиению промежутка

Для ограниченной функции мы имеем где L — некоторое положительное число. Принимая во внимание, что получаем для сумм (11) при любом законе подразделения 8 следующую оценку:

Наряду с суммами (11) составим следующую сумму Римана — Стилтьеса:

где некоторая точка из промежутка Принимая во внимание, что мы имеем для любого подразделения неравенство

Введем теперь некоторые новые термины. Подразделение называется продолжением подразделения , если все точки деления подразделения являются и точками деления подразделения Пусть — два каких-нибудь подразделения. Образуем новое подразделение, взяв за точки деления точки деления и точки деления . Это новое подразделение назовем произведением подразделений и обозначим символом Подразделение является, очевидно, продолжением как подразделения , так и подразделения . Понятие произведения подразделений мы можем, очевидно, ввести и для любого конечного числа подразделений Отметим еще, что суммы и зависят только от выбора подразделения , что же касается суммы то она зависит еще от выбора точек Докажем теперь несколько совершенно простых теорем.

Теорема 1. Если подразделение есть продолжение подразделения , то и

Докажем, например, неравенство При переходе от к каждый частичный промежуток, входящий в подразделение 8, может разбиться на конечное число частей:

и вместо слагаемого суммы мы получим следующую сумму:

где есть точная нижняя граница значений на промежутке Мы имеем, очевидно, и, следовательно, принимая во внимание неотрицательность разностей будем иметь

и теорема доказана

Теорема 2. Если — любые два подразделения, то

Неравенство для одного и того же подразделения непосредственно следует из того, что . Таким образом, для подразделения имеем . С другой стороны, в силу теоремы и откуда и следует, что

Обозначим через i точную верхнюю границу сумм при всевозможных законах подразделения и через точную нижнюю границу сумм

Из определения точных границ и теоремы 2 непосредственно следует, что для любых подразделений и имеет место неравенство и, в частности,

Укажем необходимое и достаточное условие равенства точных границ i и . При этом существенную роль будет играть разность

Теорема 3. Для равенства необходимо и достаточно, чтобы существовала такая последовательность подразделений что

Доказываем достаточность. Если последовательность подразделений для которой существует, то, применяя к этой последовательности неравенство (15), получаем

Доказываем необходимость. Пусть . В силу определения точных границ существует такая последовательность подразделений что , и такая последовательность подразделений что Возьмем последовательность подразделений . В силу теоремы и причем

Таким образом, тем более А и , а потому и теорема доказана. Отметим, что в подразделениях частичные промежутки не должны обязательно беспредельно измельчаться. Может, например, случиться что все подразделения являются одним и тем же подразделением Из (15) вытекает непосредственно следующее следствие:

Следствие, Если то . Указанное выше необходимое и достаточное условие равенства может быть формулировано при помощи сумм

Теорема 4. Для того чтобы разность стремилась к нулю, необходимо и достаточно, чтобы имели определенный

предел при любом выборе точек и если это условие выполнено, то предел равен

Доказываем необходимость. Если то, как мы видели, а следовательно, и для которая удовлетворяет неравенству имеем Доказываем достаточность. Пусть

где суть точки деления подразделения и — некоторые точки из промежутка Обозначим еще через точную нижнюю и точную верхнюю границы значений на промежутке . Пусть в — любое заданное положительное число. В силу условия существует такое что

и любом выборе точек По определению точной нижней границы мы можем выбрать точки так, чтобы выполнялись неравенства При этом будем иметь

и, следовательно, представляя разность в виде мы получим, в силу (17) и (18):

откуда, ввиду произвольности в, следует, что . Совершенно так же можно доказать, что а следовательно, , и теорема доказана. Предел А совпадает очевидно с числами i и которые в данном случае равны между собой. Из доказанной теоремы и предыдущей теоремы вытекает непосредственно следующее следствие.

Следствие. Для равенства необходимо и достаточно, чтобы существовала такая последовательность подразделений что имеет определенный предел при любом выборе точек . Если это условие выполнено, то упомянутый предел равен

Теорема 5. Если для последовательности подразделений с имеет определенный предел и есть продолжение то имеет тот же предел.

Из условия теоремы и теоремы 4 следует, что силу теоремы Следовательно, и подавно т. е. и теорема доказана.

В случае интеграла Римана, т. е. мы показали раньше [1; 112], что для любой ограниченной функции при беспредельном измельчании частичных промежутков, . Таким образом, в случае интеграла Римана равенство равносильно тому, что сумма имеет определенный предел при беспредельном измельчании промежутков, причем этот предел равен i. В общем случае это не будет так. Если имеет определенный предел при беспредельном измельчании частичных промежутков, то в силу следствия из теоремы 4. Но обратного утверждать нельзя. Из того, что следует только, что существует такая последовательность подразделений что имеет определенный предел. Но нельзя утверждать, что будет иметь определенный предел для всякой последовательности подразделений при беспредельном измельчании частичных промежутков. В данном выше определении интеграла Стилтьеса мы потребовали, чтобы имела определенный предел при беспредельном измельчании частичных промежутков. При дальнейших обобщениях понятия интеграла мы заменим это требование более слабым требованием существования равенства Кроме того, мы расширим наши возможности при разбиении основного промежутка интегрирования на части, что будет выяснено в дальнейшем при новых определениях интеграла. В следующем параграфе мы вернемся к интегралу Стилтьеса, определенному нами в [2], и дадим одно важное достаточное условие его существования.