15. Общая форма функционалов в С.

Мы докажем сейчас важную теорему Ф. Рисса о том, что всякий линейный функционал в С можег быть представлен формулой (78), где функция ограниченной вариации, определяющая этот функционал. Но, как мы видели выше, всякий интеграл (78), где фиксированная функция ограниченной вариации, — представляет собой линейный функционал в С. Таким образом, после доказательства теоремы Рисса можно утверждать, что интеграл (78), где функция ограниченной вариации, — представляет собой общую форму линейного функционала в С.

Теорема (Ф. Рисса) Всякий линейный функционал в пространстве С может быть представлен формулой (89), где есть некоторая функция ограниченной вариации.

При доказательстве этой теоремы мы будем пользоваться полиномами специального вида, которые были впервые построены академиком С. Н. Бернштейном и о которых уже говорили раньше. Напомним построение и основное свойство этих полиномов. Пусть — непрерывная функция на промежутке [0, 1]. Полином Бернштейна, соответствующий этой функции, имеет вид

Как мы показали раньше [II; 154), при беспредельном возрастании последовательность полиномов стремится равномерна на промежутке [0, 1] к функции Для доказательства теоремы преобразуем промежуток в промежуток [0, 1) при помощи линейной замены независимой переменной . При этом пространство функций, непрерывных на перейдет в пространство функции, непрерывных на [0, 1], и при доказательстве мы будем считать, что основной промежуток есть уже промежуток [0, 1]. Пусть некоторый функционал в пространстве С. Мы должны доказать, что его можно представить по формуле (78) — где — некоторая функция ограниченной вариации на промежутке [0, 1]. Мы имеем очевидное равенство

и все слагаемые написанной суммы неотрицательны, если принадлежит [0,1]. Отсюда следует, что если — числа, равные 1 или —1, то имеет место неравенство

Применяя функционал к полиному, стоящему в левой части неравенства (83), получим, в силу (77) и (83),

Выберем теперь знаки так, чтобы произведение было неотрицательным при всяком т. При таком выборе неравенство (84) может быть записано в виде

Разобьем промежуток [0,1] на равных частей и определим функцию так, чтобы она сохраняла постоянное значение на каждом из частичных промежутков, а именно определим эту функцию следующим образом:

Полная вариация функции равна, очевидно, сумме абсолютных значений скачков в точках деления и на концах промежутка. В силу (85) мы будем иметь Точно так же из (85) и определения функции непосредственно следуют неравенства . Таким образом, к последовательности функций применима теорема 1 из [13], и мы можем утверждать, что существует такая последовательность возрастающих целых положительных чисел что во всех точках стремятся к некоторой

функции ограниченной вариации . Мы докажем сейчас, что эта функция и будет входить в правую часть формулы (78). Составим интеграл Стилтьеса от по . Он равен сумме произведений значений функции в точках разрыва на величину скачка в этих точках, т. е. [6]:

В силу формул (76) и (82) правая часть представляет собой значение функционала для , т. е.

Применим эту формулу при

При беспредельном возрастании равномерно на [0, 1], и, в силу непрерывности функционала формула (87) дает

К правой части применима теорема 1 из [12], и мы приходим, таким образом, к формуле

Покажем, что . Из формулы (88) непосредственно следует, как мы видели в [141, что . С другой стороны из указанного выше неравенства вытекает, что и . Указанные два неравенства и приводят к равенству Рассмотрим вопрос об единственности представления функционала формулой (88). Пусть функция ограниченной вариации, значения которой отличны от значений на некотором множестве g точек промежутка причем есть конечное или счетное множество. Нетрудно видеть, что интеграл

при любом выборе непрерывной функции равен интегралу (88). Действительно, поскольку множество точек любого промежутка содержащегося в [0,1], имеет мощность континуума, точки, не принадлежащие g, образуют множество

плотное на [0, 1]. Таким образом, при составлении сумм Римана — Стилтьеса для интеграла (88)

и при беспредельном измельчании частичных промежутков мы можем брать точки деления, не входящие в g, откуда и следует совпадение интегралов (88) и (89).

Итак, изменяя функцию g(x) в конечном или счетном множестве точек, но так, чтобы и новая функция была функцией ограниченной вариации, получим интеграл (89), дающий тот же функционал в С, что и интеграл (88). В силу сказанного в [14], мы можем утверждать, что причем может иметь место и знак с. При построении указанным при доказательстве теоремы образом мы имели

Поставим теперь следующий общий вопрос: для каких функций ограниченной вариации интеграл (89) определяет тот же линейный функционал в С, что и интеграл

Вводя новую функцию ограниченной вариации приходим к следующему вопросу: для каких функций ограниченной вариации со мы имеем

для любой непрерывной на [0,1] функции Ответом на этот вопрос является следующая теорема:

Теорема. Для того, чтобы при любом выборе непрерывной функции имела место формула (90), необходимо и достаточно, чтобы функция ограниченной вариации удовлетворяла следующим условиям: 1) во всякой точке непрерывности функции лежащей внутри [0, 1], имеет место равенство

Необходимость. Выберем настолько большое , чтобы и точка находилась внутри [0, 1], и определим непрерывную функцию следующим образом:

На среднем промежутке есть линейная функция, убывающая от единицы до нуля. Равенство (90) при таком выборе дает

или

Но мы имеем [9]

Поскольку по предположению непрерывна в точке можно утверждать, что при беспредельном возрастании , и формула (91) в пределе дает со Второе условие получается из (90), если положить

Достаточность. Поскольку точки непрерывности функции ограниченной вариации расположены плотно на промежутке [0, 1], мы можем при построении суммы Римана — Стилтьеса пользоваться только этими точками. Но при этом, в силу условий все разности будут равны нулю и, следовательно, будет иметь место (90) при любом выборе непрерывной функции Теорема доказана.

Тем самым мы доказали, что для того, чтобы интеграл (89) давал тот же линейный функционал в С, что и интеграл (88), необходимо и достаточно, чтобы разность равнялась во всех точках, где она непрерывна, а также при

Вернемся к формуле (88). Как известно, при любом представлении интегралом (88) должно быть Мы имеем в формуле . Далее к можем, конечно, добавить любое постоянное слагаемое. Чтобы исключить эту многозначность, будем считать в формуле . У функции может быть лишь конечное или счетное число точек разрыва. Рассмотрим такую точку разрыва что но (устранимый разрыв). Если мы изменим в одной точке положив то устраним этот разрыв, не изменив интеграла (88), но уменьшив V(g). Но этого быть не может, так как мы имели раньше а после указанного изменения получили бы невозможное равенство . Таким образом, следует, что не имеет устранимых разрывов. Остаются те разрывы, в которых . Если выбрать значение сначала принадлежащим замкнутому промежутку с концами а затем лежащим вне этого промежутка, то во втором случае будет очевидно больше, чем в первом. Таким образом, в неустранимых точках разрыва из условия следует, что принадлежит замкнутому промежутку i. Положение числа в промежутке i не влияет на полную вариацию . Итак, при условии единственным произволом является определение в точках разрыва, но так, что принадлежит и Обычно полагают

или непрерывность справа, или непрерывность слева.

Можно аналогично предыдущему рассматривать пространство С комплексных функций непрерывных на промежутке [0, 1]. Элементы такого пространства можно умножать на комплексные числа и складывать. Определение нормы и линейного функционала сохраняются, но значения функционала могут быть и комплексными. Имеет место и теорема об общем виде линейного функционала, причем комплексные функции ограниченной вариации имеют вид , где — вещественные функции ограниченной вариации.