74. Случай одного переменного.

Пусть g есть, например, конечный промежуток Вместо естественно ввести соответствующую неубывающую функцию точки Вместо функции множеств вводим функцию точки и формула (14) для нее будет иметь вид

и для лебеговых интегралов

В случае абсолютной непрерывности получаем формулы

Рассмотрим более подробно случай интеграла Лебега. При переходе от функции промежутка к функции точки мы можем добавлять к последней постоянные слагаемые и можем написать

где — измеримая функция, суммируемая по Принимая во внимание абсолютную непрерывность интеграла от мы имеем для функции (22) следующее свойство: любому заданному положительному отвечает такое положительное ,

что если - непересекающиеся промежутки, для которых

то

Будем исходить от функции точки и назовем функцию точки определенную на промежутке абсолютно непрерывной на этом промежутке, если она имеет указанное только что свойство. Абсолютно непрерывная функция, очевидно, и просто непрерывна, так как, в частности, можно взять . Как мы увидим в дальнейшем, существуют монотонные, непрерывные функции точки, которые не являются абсолютно непрерывными. Из указанного свойства вытекает и следующее свойство: любому заданному положительному отвечает такое положительное , что если выполнено (23), то

Действительно, если имеет указанное выше свойство (24), т. е. абсолютно непрерывна, то заданному отвечает такое что при выполнении (23) мы имеем

Любую систему интервалов удовлетворяющих (23), мы разобьем на два класса, отнеся к классу I те интервалы, для которых и к классу II — те, для которых . В силу (26) имеем

откуда и следует (25). Принимая во внимание неотрицательность слагаемых суммы (25) и произвольность , мы получаем и следующее свойство абсолютно непрерывных функций: любому заданному положительному отвечает такое положительное , что если конечное или счетное множество попарно непересекающихся интервалов, удовлетворяющих условию

то

Наоборот, если выполнено это условие, то тем более выполнено и первоначальное условие (24), и абсолютно непрерывна.

Теорема 1. Сумма, разность и произведение двух абсолютно непрерывных функций суть абсолютно непрерывные функции. Частное двух абсолютно непрерывных функций также абсолютно непрерывная функция, если не обращается в нуль.

Докажем только абсолютную непрерывность произведения . Функции ограничены в . Мы имеем

Суммируя и принимая во внимание абсолютную непрерывность докажем свойство (25) и для произведения .

Теорема 2. Абсолютно непрерывная функция со есть функция ограниченной вариации, и ее полная вариация есть также абсолютно непрерывная функция.

Пусть такое положительное число, что при соблюдении условия (23) для мы имеем

Разложим на части фиксированными точками так, что При любом разбиении промежутка для имеем неравенство (29), и суммы а тем самым и полная вариация со на каждом из промежутков не больше единицы, а на всем промежутке не больше N. Пусть соответствует так, что при соблюдении (23) выполняется (25). Будем подразделять каждый из промежутков входящих в условие (23), на частичные промежутки. Сумма длин полученных промежутков будет по прежнему удовлетворять условию (23), и соответствующая полученным частичным промежуткам сумма (25) будет попрежнему . Точная верхняя граница суммы слагаемых, отвечающих частичным промежуткам из даст, очевидно, и, таким образом, при выполнении условия (23) будем иметь

откуда и следует, что абсолютно непрерывна, и теорема доказана.

Строя функции

которые не убывают [8] и абсолютно непрерывны, в силу теоремы 1, мы представляем со в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций

Как мы указали, неопределенный интеграл (22) от суммируемой функции дает абсолютно непрерывную функцию точки в смысле указанного выше определения (23), (24) или (23), (25). Докажем теперь обратное предложение.

Теорема 3. Всякая абсолютно непрерывная функция представима неопределенным интегралом

Пользуясь функцией и полагая при при мы можем сопоставить промежутку неотрицательное число причем ввиду непрерывности неважно, является ли промежуток А замкнутым или открытым. Если некоторое линейное множество измеримо по Лебегу, то существует такое открытое множество О, содержащее , что множество можно покрыть конечным или счетным числом промежутков сумма длин которых сколь угодно мала [35]. В силу абсолютной непрерывности и ее продолжения постоянной вне мы можем совершить это покрытие и таким образом, чтобы сумма неотрицательных слагаемых для покрывающих промежутков была сколь угодно малой, т. е. если измеримо по Лебегу, то измеримо и относительно Таким образом, мы можем распространить на все множества из L, принадлежащие со свойством полной аддитивности. Из предыдущих рассуждений следует также, что если лебегова мера то и а потому имеем

Совершенно аналогично, строя получим

где суммируема на и

Если за g возьмем промежуток то и придем к формуле (22).

Можно утверждать, что функция входящая в формулу (22), определяется единстгенным образом с точностью до слагаемого, почти везде равного нулю. Действительно, если бы наряду с (22) мы имели для со вторую такую же формулу с подынтегральной функцией то интеграл от разности по любому промежутку, принадлежащему был бы равен нулю, и, в силу свойства 11 из мы могли бы утверждать, что упомянутая разность эквивалентна нулю. Функция входящая в формулу (22), называется производной от и обозначается обычным символом: . Можно показать, чего мы делать не будем, что для всех из кроме, может быть, множества значений лебеговой меры нуль, имеется предел:

причем эквивалентна . Если непрерывная функция в то при всех из существует обычная производная от интеграла по верхнему пределу. Если не только непрерывна, но и абсолютно непрерывна в то имеем очевидно

где суммируема. Мы имеем называете, производной второго порядка и обозначается обычным символом Совершенно аналогично может иметь абсолютно непрерывные производные до порядка k и тем самым суммируемую производную порядка . При этом она представима в виде

Вся изложенная теория легко распространяется на тот случай, когда абсолютно непрерывна относительно неубывающей функции которую мы будем считать непрерывной, т. е. любому

заданному положительному отвечает такое положительное., что если непересекающиеся промежутки, для которых

то

Совершенно так же, как и выше, мы можем вместо (37) писать (28) и функция непрерывна на Вместо (32) мы получаем формулу