41. Случай одного переменного.

Теория измерения имеет более простую форму в случае одного переменного. Неотрицательная, аддитивная и нормальная функция полуоткрытых промежутков

сводится, как мы знаем, к неубывающей функции точки :

Исходя от этой функции , как это указано выше, строим функцию множеств , определенную для всех множеств, принадлежащих Значение для множества g, принадлежащего называют иногда изменением на множестве . Если то мы получаем множества, измеримые по Лебегу, и обобщение понятия длины для таких множеств. Если определена только в некотором промежутке, то ее можно распространить, как это указывали раньше, на всю ось.

Введем вместо новую переменную t по формуле

причем эту замену переменных надо понимать так. Если в некоторой точке функция непрерывна, то соответствующее значение t определяется формулой (58). Если же есть точка разрыва непрерывности, то такому значению приводится в соответствие замкнутый промежуток переменной t. При таком соответствии полуоткрытый промежуток переменной переходит в полуоткрытый промежуток переменной причем в случае последний полуоткрытый промежуток вырождается в точку. Если некоторые множества оси соответствующие множества оси t, то можно показать, что внешняя мера относительно равна внешней мере понимаемой в смысле Лебега, т. е. вычисляемой при условии, что в основу принята длина полуоткрытого промежутка. Элементарной фигурой в случае одного переменного будет сумма конечного числа полуоткрытых промежутков попарно без общих точек и, можно без труда показать, что если измеримое относительно множество, то и измеримо, по Лебегу, причем мера относительно равна лебеговой мере множества